Serie 1/(n^2)
Buongiorno a tutti!
La serie indicata in oggetto, con n che va da 1 a inf. dà come risultato 1/6 Pi^2.
Qualcuno sa dirmi da dove viene fuori Pi?
Anche un link all'argomento o alla dimostrazione...
Ve ne sarei molto grato
Grazie
Gianni
La serie indicata in oggetto, con n che va da 1 a inf. dà come risultato 1/6 Pi^2.
Qualcuno sa dirmi da dove viene fuori Pi?
Anche un link all'argomento o alla dimostrazione...
Ve ne sarei molto grato
Grazie
Gianni
Risposte
La somma della serie …
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2$ (1)
... di cui era nota la convergenza, è stata per la prima volta trovata dal grande Eulero nel modo che è stato descritto in https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... sc&start=0
Qui fornirò una dimostrazione alternativa basata sullo sviluppo in serie di Fourier. Se $f(x)$ è limitata e continua nell’intervallo $[-pi,pi]$ per essa vale lo sviluppo…
$f(x)=1/2*a_0+a_1*cos x+b_1*sin x+a_2*cos 2x+b_2*sin 2x+…+a_n*cos nx+b_n*sin nx+…$ (2)
… in cui…
$a_n=1/pi int_(-pi)^pi f(x)*cos nx*dx$
$b_n= 1/pi int_(-pi)^pi f(x)*sin nx*dx$ (3)
Supponiamo ora di voler sviluppare la funzione $f(x)=x^2$ in $[-pi,pi]$. Essendo la funzione ‘pari’ sarà $b_n=0$ per tutti gli $n$. Per le $a_n$ invece sarà…
$a_n=2/pi int _0^(pi) x^2*cos nx*dx$ (4)
L’integrale (4) di esegue facilmente per parti e fornisce…
$a_0= 2/3*pi^2$
$a_n= (-1)^n*4/(n^2)$ (5)
Pertanto è…
$f(x)= x^2=(pi^2)/3-4*(cos x-1/2^2*cos 2x+…+(-1)^(n-1)/n^2*cos nx+…)$ (6)
Ponendo nella (6) $x=pi$ si ottiene…
$pi^2= (pi^2)/3+4*sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2$ (7)
… da cui…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2 = pi/6$ (8)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2$ (1)
... di cui era nota la convergenza, è stata per la prima volta trovata dal grande Eulero nel modo che è stato descritto in https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... sc&start=0
Qui fornirò una dimostrazione alternativa basata sullo sviluppo in serie di Fourier. Se $f(x)$ è limitata e continua nell’intervallo $[-pi,pi]$ per essa vale lo sviluppo…
$f(x)=1/2*a_0+a_1*cos x+b_1*sin x+a_2*cos 2x+b_2*sin 2x+…+a_n*cos nx+b_n*sin nx+…$ (2)
… in cui…
$a_n=1/pi int_(-pi)^pi f(x)*cos nx*dx$
$b_n= 1/pi int_(-pi)^pi f(x)*sin nx*dx$ (3)
Supponiamo ora di voler sviluppare la funzione $f(x)=x^2$ in $[-pi,pi]$. Essendo la funzione ‘pari’ sarà $b_n=0$ per tutti gli $n$. Per le $a_n$ invece sarà…
$a_n=2/pi int _0^(pi) x^2*cos nx*dx$ (4)
L’integrale (4) di esegue facilmente per parti e fornisce…
$a_0= 2/3*pi^2$
$a_n= (-1)^n*4/(n^2)$ (5)
Pertanto è…
$f(x)= x^2=(pi^2)/3-4*(cos x-1/2^2*cos 2x+…+(-1)^(n-1)/n^2*cos nx+…)$ (6)
Ponendo nella (6) $x=pi$ si ottiene…
$pi^2= (pi^2)/3+4*sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2$ (7)
… da cui…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/n^2 = pi/6$ (8)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Io conoscevo una dimostrazione simile a quella di lupo grigio... La posto, anche se il procedimento è quasi analogo
Consideriamo la funzione $x(t)$ replica periodica di periodo $2pi$ della funzione $t/(2pi)$.
Nel senso dell'energia (in $L^2(0,2pi)$) risulta: $x(t) = 1/2 - sum_(k=1)^(+oo) 1/(kpi) sin(kt)$
Chiaramente l'energia su un periodo di $x(t)$ è data dall'integrale $int_0^(2pi) (t/(2pi))^2 dt = 2/3pi$ (1)
Dall'uguaglianza di Parseval, del resto, l'energia di $x(t)$ risulta essere: $2pi(1/4 + 1/(2pi^2) sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2)$ (2)
Uguagliando la (1) e la (2) otteniamo che $sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2 = (pi^2)/6$
Consideriamo la funzione $x(t)$ replica periodica di periodo $2pi$ della funzione $t/(2pi)$.
Nel senso dell'energia (in $L^2(0,2pi)$) risulta: $x(t) = 1/2 - sum_(k=1)^(+oo) 1/(kpi) sin(kt)$
Chiaramente l'energia su un periodo di $x(t)$ è data dall'integrale $int_0^(2pi) (t/(2pi))^2 dt = 2/3pi$ (1)
Dall'uguaglianza di Parseval, del resto, l'energia di $x(t)$ risulta essere: $2pi(1/4 + 1/(2pi^2) sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2)$ (2)
Uguagliando la (1) e la (2) otteniamo che $sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2 = (pi^2)/6$
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