Serie
Ciao, ho questo quesito che non riesco a risolvere.
I valori di x positivi tali per cui la serie $ ∑+∞ n=1 x^(2n)/(x+2)^(2n) $ risulta convergente sono?
(a) x≥2
(b) x>2
(c) x≤2
(d) ogni x
I valori di x positivi tali per cui la serie $ ∑+∞ n=1 x^(2n)/(x+2)^(2n) $ risulta convergente sono?
(a) x≥2
(b) x>2
(c) x≤2
(d) ogni x
Risposte
Ciao Filippo Pianezzolla,
Scrivi bene:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^(2n)/(x+2)^(2n) = \sum_{n = 1}^{+\infty} [x^2/(x+2)^2]^n $
Si tratta di una serie geometrica con ragione $< 1 $, quindi...
Peraltro non è neanche complicato determinarne la somma $S(x) $, infatti si ha:
$S(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} [x^2/(x+2)^2]^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} [x^2/(x+2)^2]^n - 1 = 1/(1 - x^2/(x+2)^2) - 1 = (x + 2)^2/(4(x + 1)) - 1 = x^2/(4(x + 1)) $
per $x > - 1 $ e quindi certamente per $x \ge 0 $: in particolare per $x = 0 $ si ha $S(0) = 0 $.
Scrivi bene:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^(2n)/(x+2)^(2n) = \sum_{n = 1}^{+\infty} [x^2/(x+2)^2]^n $
Si tratta di una serie geometrica con ragione $< 1 $, quindi...
Peraltro non è neanche complicato determinarne la somma $S(x) $, infatti si ha:
$S(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} [x^2/(x+2)^2]^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} [x^2/(x+2)^2]^n - 1 = 1/(1 - x^2/(x+2)^2) - 1 = (x + 2)^2/(4(x + 1)) - 1 = x^2/(4(x + 1)) $
per $x > - 1 $ e quindi certamente per $x \ge 0 $: in particolare per $x = 0 $ si ha $S(0) = 0 $.
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