Serie
Buongiorno.. è giusto risolvere la seguente serie in questo modo? $sum_{n=0}^{+infty} (logcos(1/3^n))$ è giusto maggiorarla con $sum_{n=0}^{+infty} log1$ e questa converge. Ha senso come ragionamento? Grazie come sempre. 
Risposte
Ciao, nota che la serie \( \sum_{n=0}^{+ \infty} \log(1) \) è una serie di tutti \( 0 \) ed è pertanto uguale a \( 0 \). La maggiorazione che fai è corretta, cioè
\[ \cos(\frac{1}{3^n}) \le 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \log(\cos(\frac{1}{3^n})) \le \log(1) =0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Ma così hai solo dimostrato che la tua serie è a termini negativi. E con una serie a termini negativi non serve a nulla maggiorarla con lo \(0 \), cosa che è ovvia.
Pensa alla serie \( \sum_{n=0}^{+\infty} -n \) che chiaramente diverge a \(- \infty \). Certamente però è minore di \(0 \).
Insomma con quella maggiorazione non concludi nulla!
\[ \cos(\frac{1}{3^n}) \le 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \log(\cos(\frac{1}{3^n})) \le \log(1) =0 \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Ma così hai solo dimostrato che la tua serie è a termini negativi. E con una serie a termini negativi non serve a nulla maggiorarla con lo \(0 \), cosa che è ovvia.
Pensa alla serie \( \sum_{n=0}^{+\infty} -n \) che chiaramente diverge a \(- \infty \). Certamente però è minore di \(0 \).
Insomma con quella maggiorazione non concludi nulla!
E allora come dovrei procedere? Scusa ma non ho capito 
Ciao, ma non hai capito il discorso che ti ho fatto o come si fa l'esercizio?
Come si fa l'esercizio.
Per l'esercizio prova un po' con le stime asintotiche e dimmi cosa ti viene in mente!
Ciao Appinmate,
Infatti la serie proposta converge ad un valore negativo, considerando che l'argomento del logaritmo è compreso fra $0 $ e $1 $:
$ 0 < cos(\frac{1}{3^n}) < 1 $
Per risolvere la serie proposta potresti osservare che si ha:
$ \sum_{n=0}^{+infty} log cos(1/3^n) = \sum_{n=0}^{+infty} log\sqrt{1 - sin^2 (1/3^n)} = \sum_{n=0}^{+infty} log[1 - sin^2 (1/3^n)]^{1/2} $
Infatti la serie proposta converge ad un valore negativo, considerando che l'argomento del logaritmo è compreso fra $0 $ e $1 $:
$ 0 < cos(\frac{1}{3^n}) < 1 $
Per risolvere la serie proposta potresti osservare che si ha:
$ \sum_{n=0}^{+infty} log cos(1/3^n) = \sum_{n=0}^{+infty} log\sqrt{1 - sin^2 (1/3^n)} = \sum_{n=0}^{+infty} log[1 - sin^2 (1/3^n)]^{1/2} $
Io la maggiorerei con $1-sen^2 (1/3^n)$ in quanto all'infinito $logx $ è definitivamente minore di $x $.. poi userei la convergenza assoluta e vedrei che è definitivamente minore di 2... ha senso?
"Bremen000":
Per l'esercizio prova un po' con le stime asintotiche e dimmi cosa ti viene in mente!
Darei seguito a questo suggerimento di Bremen000, osservando che sei in presenza di qualcosa del tipo $log(1 + f(n)) $ con $f(n) := - sin^2(1/3^n) \to 0 $ per $n \to +\infty $ ...
Ok ho capito.Uso gli sviluppi di Taylor. grazie mille ma quello che ho detto sopra è sbagliato?
ma quello che ho detto sopra è sbagliato?
Allora bisogna usare due limiti notevoli
- $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1$
- $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$
Riscriviamo il termine generale
$\log(\cos(1/3^n))=\frac{1}{2}\log(1-\sin^2(1/3^n))$
Sappiamo che $\sin^2(1/3^n) ~ \frac{1}{3^{2n}}$, quindi
$\frac{1}{2}\log(1-1/3^{2n})~-\frac{1}{2}\frac{1}{3^{2n}}$
- $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1$
- $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$
Riscriviamo il termine generale
$\log(\cos(1/3^n))=\frac{1}{2}\log(1-\sin^2(1/3^n))$
Sappiamo che $\sin^2(1/3^n) ~ \frac{1}{3^{2n}}$, quindi
$\frac{1}{2}\log(1-1/3^{2n})~-\frac{1}{2}\frac{1}{3^{2n}}$
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