Serie
Buongiorno a tutti non capisco come svolgere questa serie 
$ sum_(n =0) ^{oo} (nsinx^n) /(n+x^(2n)) $ dal criterio necessario di convergenza so che può convergere o divergere perché il limite per n che tende a $oo$ é 0. Ho provato ad applicare rapporto e convergenza assoluta ma mi viene una cosa bruttussima come potrei svolgerla? Grazie in anticipo
$ sum_(n =0) ^{oo} (nsinx^n) /(n+x^(2n)) $ dal criterio necessario di convergenza so che può convergere o divergere perché il limite per n che tende a $oo$ é 0. Ho provato ad applicare rapporto e convergenza assoluta ma mi viene una cosa bruttussima come potrei svolgerla? Grazie in anticipo
Risposte
Sia $|x|< 1$, allora la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n\sin(x^n)}{n+x^{2n}}$ ha stesso carattere di $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n(x^n-\frac{1}{6}x^{3n})}{n+x^{2n}}$ avendo usato il polinomio di Taylor di $\sin(x^n)$ al secondo ordine. Ma quindi eliminando i termini infinitesimi di ordine superiore si ha $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{nx^n}{n}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$ la quale e' certamente convergente, secondo l'ipotesi iniziale, trattandosi di una serie di potenze.
Se invece $|x|>1$, con un ragionamento analogo, si nota che la serie data e' maggiorata dalla serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+x^{2n}} <=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{x^{2n}}$ e quest'ultima anch'essa convergente.
Se invece $x=1$ la serie diventa $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n\sin(1)}{n+1^{2n}}=\sin(1)\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+1}$, quest'ultima non converge.
Attendiamo qualche conferma pero'.
Se invece $|x|>1$, con un ragionamento analogo, si nota che la serie data e' maggiorata dalla serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+x^{2n}} <=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{x^{2n}}$ e quest'ultima anch'essa convergente.
Se invece $x=1$ la serie diventa $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n\sin(1)}{n+1^{2n}}=\sin(1)\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{n+1}$, quest'ultima non converge.
Attendiamo qualche conferma pero'.
NOn posso usare Taylor (
(
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo