Serie
Buongiorno! Ho difficoltà a capire se la risoluzione di questa serie può essere esatto. $sum_ {n=2}^{+infty} 1/(nlognlog^2(logn))$
Io ho pensato che è $<=$ a $ sum_ {n=2}^{+infty} 1/(n*n*n^2)$ e che questa converge quindi anche la prima conerge. Ma non so se possa essere esatto come ragionamento. Grazie.
Io ho pensato che è $<=$ a $ sum_ {n=2}^{+infty} 1/(n*n*n^2)$ e che questa converge quindi anche la prima conerge. Ma non so se possa essere esatto come ragionamento. Grazie.
Risposte
La maggiorazione che hai fatto non è giusta, hai scordato di girare la disuguaglianza passando agli opposti. La convergenza della serie, comunque, si determina comodamente con questo https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test
Rispolvero questa vecchia discussione perché mi sono accorta di non avere risposto.Innanzitutto grazie per la risposta. Ho però un'ulteriore domanda.Ho appena provato a rifarla usando il criterio dell'integrale ma non mi torna il risultato. Ho posto $t=log(logx)$ da cui ricavo $dt=1/(xlogx) dx$ e quindi la serie di partenza mi risulta asintotica a $ int_{log(log2)}^{log(log(+infty))}(1/t^2)dt$.. Ora però ho un dubbio.. $log(log(+infty))$ è un infinito e $log(log2)$ è una quantità negativa.. Allora l'intervallo di integrazione comprende un "punto zero".. ma dalla teoria so che $int_{0}^{c}1/t^2$ è divergente.. quindi l'integrale(quindi la serie) totale non è divergente? Grazie!
Il criterio integrale lo puoi applicare solo se la successione è decrescente, in questo caso se togli il primo termine partendo da $3$ hai la successione decrescente e tutto funziona bene.
propongo anche la più immediata strada del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata $sum_(n=2)^(oo)1/(n^alpha log^(beta)n)$
Il problema è che non funziona.
certo che non funziona, ho scambiato l'argomento del logaritmo quadro per n. scusate 
Scusate ma credo di non avere capito bene.. Non è decrescente già per n=2? E l'ultimo integrali non è tipo $int_{c}^{+infty}1/t^2$ con c negativo? ed un integrale di questo tipo non contiene in sé uno zero? E in zero quell'integrale non dovrebbe divergere?:)
Up
Rieccomi, scusa se non ti ho risposto prima ma in effetti la cosa lasciava perplesso anche me, comunque ora ho capito: la cosa che dicevo sulla decrescenza era giusta, ma è la FUNZIONE a dover essere decrescente, sennò il criterio non vale (quello che dicevi tu è vero in effetti, cioè che la successione è decrescente già da $n=2$), la tua funzione è decrescente per $x>=e$.
Ok dovrei avere capito! Non mi è però chiaro come trattare il punto zero.. dato che il criterio dell'integrale lo posso solo usare per $x>e$.. grazie per l'aiuto!
"Appinmate":
Non mi è però chiaro come trattare il punto zero.. dato che il criterio dell'integrale lo posso solo usare per $x>e$.. grazie per l'aiuto!
Semplice, la serie la scrivi come il primo termine ($n=2$) e il resto, sul quale applichi il criterio integrale e vedi che converge, quindi tutta la serie converge.
Ho capito! Grazie grazie mille.. e questo perchè avrei $int_ {lnln (3)}^{ln (ln (infty))} $ e $lnln (3)$ è una quantità positiva e il tutto converge esatto?
Si.
Grazie mille. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo