Serie
Ciao a tutti, devo studiare il carattere della seguente serie:
$ sum_(1)^(infty) (1/n^2)(e-(1+1/n)^n) $
La posso semplicemente minorare con la serie di termine generale $ 1/n^2 $ e dunque concludere che converge?
$ sum_(1)^(infty) (1/n^2)(e-(1+1/n)^n) $
La posso semplicemente minorare con la serie di termine generale $ 1/n^2 $ e dunque concludere che converge?
Risposte
Ciao floyd123,
La serie proposta converge per il criterio del confronto, infatti si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n^2)(e-(1+1/n)^n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n^2) \cdot frac{e}{2n} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^3 $
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3 $ che è convergente. Per inciso, con analoghe considerazioni è possibile stabilire la convergenza della serie seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n)(e-(1+1/n)^n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n) \cdot frac{e}{2n} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = frac{e\pi^2}{12} $
Invece la serie $ sum_{n = 1}^{+\infty} (e-(1+1/n)^n) $, pur soddisfacendo la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, è divergente, infatti si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (e-(1+1/n)^n) \ge sum_{n = 1}^{+\infty} frac{e}{2n + 2} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n + 1} $
e l'ultima scritta è la serie armonica privata del primo termine ($1 $, quello che si ottiene per $n = 1 $) notoriamente divergente.
La serie proposta converge per il criterio del confronto, infatti si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n^2)(e-(1+1/n)^n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n^2) \cdot frac{e}{2n} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^3 $
e l'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3 $ che è convergente. Per inciso, con analoghe considerazioni è possibile stabilire la convergenza della serie seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n)(e-(1+1/n)^n) \le sum_{n = 1}^{+\infty} (1/n) \cdot frac{e}{2n} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = frac{e\pi^2}{12} $
Invece la serie $ sum_{n = 1}^{+\infty} (e-(1+1/n)^n) $, pur soddisfacendo la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, è divergente, infatti si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} (e-(1+1/n)^n) \ge sum_{n = 1}^{+\infty} frac{e}{2n + 2} = e/2 sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n + 1} $
e l'ultima scritta è la serie armonica privata del primo termine ($1 $, quello che si ottiene per $n = 1 $) notoriamente divergente.
Grazie mille pilloeffe! 
Solo una domanda: come hai ricavato quel $ e/(2n) $?
Solo una domanda: come hai ricavato quel $ e/(2n) $?
"floyd123":
Grazie mille pilloeffe!
Prego!
"floyd123":
Solo una domanda: come hai ricavato quel $e/(2n) $ ?
Eh, la domanda è una sola, ma non è proprio banalissima...
Ci sono diversi modi, ad esempio si potrebbe dimostrare (dopo essere passati ai reali ed aver usato la regola di de l'Hôpital...
) che si ha:$ lim_{n \to +\infty} n(e - (1 + 1/n)^n) = lim_{n \to +\infty} frac{e - (1 + 1/n)^n}{1/n} = e/2 $
Dai un'occhiata anche a questo thread.
Oppure con gli sviluppi in serie:
$(1 + 1/n)^n = exp[n ln(1 + 1/n)] = exp[n(1/n - 1/(2n^2) + o(1/n^3))] = $
$ = exp[1 - 1/(2n) + o(1/n^2)] = e \cdot exp[- 1/(2n) + o(1/n^2)] = $
$ = e \cdot [1 - 1/(2n) + o(1/n^2)] = e - e/(2n) + o(1/n^2) $
Quindi in definitiva si ha:
$ e/(2n) = e - (1 + 1/n)^n + o(1/n^2) \implies e/(2n) \ge e - (1 + 1/n)^n $
Per convincersene definitivamente si può dare un'occhiata a WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=e+-+(1+%2B+1%2Fn)%5En+%3C%3D+e%2F(2n)
Chiarissimo, ti ringrazio
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