Serie

[daenerys1]

Dire per quali a>0 la serie converge

$ sum_(n > 0) ((sen(n)+1)*a^n)/(5^n +n) $

Allora io ho provato a ricavare qualcosa usando il criterio della radice ma o sbaglio o non riesco a ricavarmi il risultato, aiuti?

[bosmer-votailprof]

Beh se proprio vuoi lo puoi fare col criterio della radice...
Prima di tutto è fondamentale un raccoglimento per mettere in evidenza i termini che davvero contano:
$$
\left(\frac{a}{5}\right)^n\frac{\sin(n)+1}{1+n5^{-n}}
$$
in questo modo hai il termine geometrico a sinistra che moltiplica un termine il cui limite non esiste, ma è limitato infatti il numeratore oscilla fra $0$ e $2$ mentre il denominatore tende a $1$ e questa osservazione dovrebbe essere sufficiente per dire che la successione converge solo se $a<5$ (per gli $a$ positivi) ,però se vuoi possiamo applicare il criterio della radice :
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(\frac{a}{5}\right)^n\frac{\sin(n)+1}{1+n5^{-n}}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a}{5}\frac{\sqrt[n]{\sin(n)+1}}{\sqrt[n]{1+n5^{-n}}}\leq \lim_{n\to \infty}\frac{a}{5}\frac{\sqrt[n]{2}}{\sqrt[n]{1}}=\frac{a}{5}
$$

Quindi converge per $a<5$ e diverge per $a>5$, ti rimane da verificare che succede per $a=5$ e si vede a occhio che la serie non converge perché il termine generale non è infinitesimo ma oscilla fra 0 e 2.