Serie
Calcolare il seguente limite
$ lim_(n -> +infty) (1/n^2+1/(n+1)^2+...+1/(2n)^2) $
Sono capace di dimostrare che la serie converge ma non a quale valore.
Informazioni aggiuntive:
Sulle serie nel corso di Analisi 1 ancora non abbiamo fatto molto. Questo esercizio è ripreso da un'esame di due anni fa. Forse quindi era stato già visto a lezione un problema simile.
$ lim_(n -> +infty) (1/n^2+1/(n+1)^2+...+1/(2n)^2) $
Sono capace di dimostrare che la serie converge ma non a quale valore.
Informazioni aggiuntive:
Sulle serie nel corso di Analisi 1 ancora non abbiamo fatto molto. Questo esercizio è ripreso da un'esame di due anni fa. Forse quindi era stato già visto a lezione un problema simile.
Risposte
Tende a $0$! Infatti
\[
\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k^2}
\]
converge, e di conseguenza la coda della serie a partire dall'$n$-esimo termine, ovvero
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2},
\]
tende a $0$ per $n\to +\infty$. Dunque
\[
0\leq\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}\leq\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\to 0
\]
per $n\to +\infty$.
\[
\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k^2}
\]
converge, e di conseguenza la coda della serie a partire dall'$n$-esimo termine, ovvero
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2},
\]
tende a $0$ per $n\to +\infty$. Dunque
\[
0\leq\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k^2}\leq\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\to 0
\]
per $n\to +\infty$.
Grazie per la risposta.
Vorrei qualche chiarimento. In sostanza hai maggiorato la serie con una serie di cui conosci il comportamento cioè
\[ \sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}, \]
una serie del tipo $1/2^2+1/3^2+...+1/n^2$, so che converge ma non capisco perchè consideri solo l'ultimo termine di questa serie, che chiaramente per $n->+infty$ tende a $0$
Vorrei qualche chiarimento. In sostanza hai maggiorato la serie con una serie di cui conosci il comportamento cioè
\[ \sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}, \]
una serie del tipo $1/2^2+1/3^2+...+1/n^2$, so che converge ma non capisco perchè consideri solo l'ultimo termine di questa serie, che chiaramente per $n->+infty$ tende a $0$
In che senso considero solo l'ultimo termine?
"billyballo2123":
converge, e di conseguenza la coda della serie a partire dall'$n$-esimo termine, ovvero
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2},
\]
tende a $0$ per $n\to +\infty$.
Per capirci questo punto non mi è chiaro. Anche perchè so che $ sum 1/n^2 $ non converge a zero.
quella che hai scritto tu non converge a $0$, ma quella che ho scritto io sì (guarda bene, sono diverse!!)
La tua sarebbe la somma di termini tutti tendenti a zero?
In pratica siccome sappiamo che
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6},
\]
allora
\[
\frac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}+\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}.
\]
Dunque il primo addendo nell'uguaglianza qui sopra tende a $\pi^2/6$ per $n\to+\infty$, ed essendo la somma tra quest'ultimo e
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}
\]
costante ($\pi^2/6$), segue che
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\to 0
\]
per $n\to+\infty$.
\[
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6},
\]
allora
\[
\frac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}+\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}.
\]
Dunque il primo addendo nell'uguaglianza qui sopra tende a $\pi^2/6$ per $n\to+\infty$, ed essendo la somma tra quest'ultimo e
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}
\]
costante ($\pi^2/6$), segue che
\[
\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\to 0
\]
per $n\to+\infty$.
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