Serie

[fabiolmessi]

l' affermazione data dal prof, posto $ S_n=sum_(k=1)^(n)(1/n^2) $ si ha che il $ lim(S_(3n)-S_n)=0 $.
io direi che è vera per il fatto che abbiamo una serie convergente, se abbiamo una serie convergente la sua successione è infinitesima infatti $ lim(x_n)=lim(S_n-S_(n-1))=0 $.
non capisco $S_(3n)$ cosa vuol dire??

[gugo82]

Innanzitutto, o hai scritto male la somma \(S_n\) oppure hai \(S_n = \frac{1}{n}\) (calcolo esplicito).

Inoltre, \(S_{3n}\) semplicemente denota il termine \(3n\)-esimo della successione di termine generale \(S_n\).

[fabiolmessi]

cosi l' esercizio è stato scritto dal prof.
anche se sta il termine $3n$-esimo il limite non diviene sempre zero??

[dan952]

"fabiolmessi":l' affermazione data dal prof, posto $ S_n=sum_(k=1)^(n)(1/n^2) $ si ha che il $ lim(S_(3n)-S_n)=0 $.
io direi che è vera per il fatto che abbiamo una serie convergente, se abbiamo una serie convergente la sua successione è infinitesima infatti $ lim(x_n)=lim(S_n-S_(n-1))=0 $.

Non è detto. Se $ lim(x_n)=lim(S_n-S_(n-1))=0 $ non si può dire che $ lim(S_(3n)-S_n)=0 $, per esempio prendi la serie armonica $ lim(1/n)=lim(S_n-S_(n-1))=0 $ ma $ lim(S_(3n)-S_n) \geq 1 $ (vedi in scervelliamoci un pò: tratto della serie armonica).

Comunque, proviamo a dimostrare che $ lim(S_(3n)-S_n)=0 $.
Che cos'è $S_(3n)-S_n$? Semplicemente $\sum_{k=1}^{3n}1/k^2-\sum_{k=1}^{n}1/k^2=1/(9n^2)+1/(9n^2-1)+...+1/(n+1)^2$
Abbiamo bisogno di confrontarlo, o meglio maggiorizarlo con qualcosa che tenda a 0.
$0 \leq 1/(9n^2)+1/(9n^2-1)+...+1/(n+1)^2=x_n \leq (2n)/(n+1)^2$
Per il criterio del confronto $x_n \rightarrow 0$