Serie
Qualcuno è in grado di risolvere tale serie:
$\sum_{n=0}^ \infty \frac{3^n}{3^n +1} (\frac {x+1}{2x})^n$
deterrminare l' insieme di convergenza puntuale ed uniforme.
NON voglio che svogliate l' esercizio al posto mio ma solo indicarmi quale criterio conviene applicare.
$\sum_{n=0}^ \infty \frac{3^n}{3^n +1} (\frac {x+1}{2x})^n$
deterrminare l' insieme di convergenza puntuale ed uniforme.
NON voglio che svogliate l' esercizio al posto mio ma solo indicarmi quale criterio conviene applicare.
Risposte
Si può ricondurre ad una serie di potenze mediante un'opportuna sostituzione...
Poi per esempio criterio della radice per le serie di potenze...
O in maniera un pochino piu' lunga se le serie di potenze proprio non ti piacciono, consideri il criterio di convergenza necessario per le serie e poi con una maggiorazione e il cambio di variabile ti riconduci a una serie geometrica per dimostrare la convergenza su un certo intervallo...
O in maniera un pochino piu' lunga se le serie di potenze proprio non ti piacciono, consideri il criterio di convergenza necessario per le serie e poi con una maggiorazione e il cambio di variabile ti riconduci a una serie geometrica per dimostrare la convergenza su un certo intervallo...
Puoi anche provare con il Criterio di Cauchy-Hadamard...o meglio ancora con il suo corollario , in modo da semplificare i conti.
allora ho applicato il criterio di Cauchy-Hadamard tramite la sostituzione $y ={x+1}/{2x}$ e ritrovo che la serie di potenze converge per: $x<-1/3 vv x>1$.
riguardo gli estremi per $x=1$ trovo che diverge; ma per $x=-1/3$ la serie risulta a segni alterni non la so risolvere
E per la convergenza uniforme come la mettiamo?
riguardo gli estremi per $x=1$ trovo che diverge; ma per $x=-1/3$ la serie risulta a segni alterni non la so risolvere
E per la convergenza uniforme come la mettiamo?
La serie di potenze $ sum_(n=0)^(+oo) 3^n/(3^n+1)y^n $ ha raggio di convergenza $ R=1 $ quindi converge per $ -1
$ 3^n/(3^n+1)rarr1 $ per $ nrarr+oo $. [Nel caso $ y=-1 $ se $ lim_(nrarr+oo)3^n/(3^n+1)=1 $ allora anche $ lim_(nrarr+oo)(-1)^n 3^n/(3^n+1)!=0 $, in altri termini la serie per $ x=-1/3 $ non converge]
$ 3^n/(3^n+1)rarr1 $ per $ nrarr+oo $. [Nel caso $ y=-1 $ se $ lim_(nrarr+oo)3^n/(3^n+1)=1 $ allora anche $ lim_(nrarr+oo)(-1)^n 3^n/(3^n+1)!=0 $, in altri termini la serie per $ x=-1/3 $ non converge]
nel secondo caso il limite è finito o è altalenante tra -1 e 1?
la convergenza uniforme come la verifico?
la convergenza uniforme come la verifico?
La convergenza uniforme la verifichi con il teorema di Abel
Per un teorema sulle successioni se il limite di una successione e' L allora ogni sottosuccessione deve convergere ad L.
Supponiamo per assurdo che il limite in questione esista e sia L. Allora L non puo' essere 1 perche' la sottosuccessione per n dispari converge a -1, quindi il teorema sarebbe falso. Pero' il limite non puo' essere nessun altro numero $ L!=1 $ perche' la sottosuccessione con n pari converge ad 1 quindi il teorema risulterebbe falso.
Quindi il limite $ lim_(nrarr+oo)(-1)^n 3^n/(3^n+1) $ non esiste!
Supponiamo per assurdo che il limite in questione esista e sia L. Allora L non puo' essere 1 perche' la sottosuccessione per n dispari converge a -1, quindi il teorema sarebbe falso. Pero' il limite non puo' essere nessun altro numero $ L!=1 $ perche' la sottosuccessione con n pari converge ad 1 quindi il teorema risulterebbe falso.
Quindi il limite $ lim_(nrarr+oo)(-1)^n 3^n/(3^n+1) $ non esiste!
Convergenza uniforme: per un teorema se $ sum_(n=1)^(+oo) a_ny^n $ ha raggio di convergenza R, allora la serie converge puntualmente su $ (-R,R) $ e uniformemente su $ [-M,M]" "AAM$ tale che $ 0
Oppure in maniera piu' lunghetta puoi fare una verifica con Weiestrass "direttamente":
per l'intervallo $ (1,+oo)$ si ha convergenza uniforme su $ [M,+oo) $ per $ M>1 $ poiche' vale $ \frac{3^n}{3^n +1} (\frac {x+1}{2x})^n<=(\frac{M+1}{2M})^n $ serie geometrica convergente in quanto di ragione minore di 1 con $ M>1 $.
Un po' piu' complicato ma simile per l'altro intervallo.
Oppure in maniera piu' lunghetta puoi fare una verifica con Weiestrass "direttamente":
per l'intervallo $ (1,+oo)$ si ha convergenza uniforme su $ [M,+oo) $ per $ M>1 $ poiche' vale $ \frac{3^n}{3^n +1} (\frac {x+1}{2x})^n<=(\frac{M+1}{2M})^n $ serie geometrica convergente in quanto di ragione minore di 1 con $ M>1 $.
Un po' piu' complicato ma simile per l'altro intervallo.
mi trovo che converge uniformemente per :
$1/{2k-1} <= x <= 1/{2k+1} $ se $ 0
Esiste un metodo più smart in questo caso?
$1/{2k-1} <= x <= 1/{2k+1} $ se $ 0
Esiste un metodo più smart in questo caso?
No non possono essere le soluzioni da te indicate perche'
darebbe conv. unif. anche sull'intervallo $ 0
Per $ x<0 $ prova a fare un grafico di $ (x+1)/(2x) $ per cercare una maggiorazione e usare Weiestrass. Penso che venga conv. unif per $ (-oo,K] $ per $ k<-1/3 $.
$ 0 < x <= 1/{2k-1} $
darebbe conv. unif. anche sull'intervallo $ 0
Per $ x<0 $ prova a fare un grafico di $ (x+1)/(2x) $ per cercare una maggiorazione e usare Weiestrass. Penso che venga conv. unif per $ (-oo,K] $ per $ k<-1/3 $.
ok 
un ultima domanda per quanto riguarda la convergenza puntuale di una serie di funzioni, devo sempre controllare se converge agli estremi dell' intervallo come ho fatto prima? oppure non converge mai negli estremi?
un ultima domanda per quanto riguarda la convergenza puntuale di una serie di funzioni, devo sempre controllare se converge agli estremi dell' intervallo come ho fatto prima? oppure non converge mai negli estremi?
Si' devi controllare la conv. agli estremi.
Esistono serie di potenze convergenti puntualmente su intervalli chiusi per esempio: $ sum_(k=1)^(+oo)x^k/k^2 $ converge su [-1,1] (dim per esercizio banale).
Esistono serie di potenze convergenti puntualmente su intervalli chiusi per esempio: $ sum_(k=1)^(+oo)x^k/k^2 $ converge su [-1,1] (dim per esercizio banale).
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