Serie

[87Fra87]

Salve a tutti non riesco ad risolvere questa serie:

$ sum_(n=1)^(+oo) ((n)/(4+n^4))(sen((n^3+3)/(n))) $

Mi chiede di studiare la convergenza e se è possibile calcolare una somma approssimata a meno di 1/200. PRima di tutto dico che An>0 per ogni n in quanto il primo fattore è sempre positivo mentre il seno tende ad n^2, poi usando il criterio degli infinitesimi per n=3 la serie converge il problema e che il seguente criterio non mi serve a niente in quanto non mi da informazioni utili sul resto......Come criteri abbiamo studiato e quindi conosco:
1 Criterio di Confronto
2 Criterio del Confronto Asintotico
3 Criterio del rapporto
5 Criterio di Leibniz
6 Criterio della assoluta convergenza
7 Criterio degli integrali per la serie

Come si risolve la serie?

[asker993]

Ciao, io utilizzerei prima il criterio del confronto asintotico e poi quello del confronto, ti imposto come farei:

Allora, il termine generale della serie è asintotico a $lim n->infty$ $(n/n^4)(sen((n^3)/n)$...da qua come continueresti?


ps: per quanto riguarda la somma della serie aprossimata mi fa pensare che tu debba calcolarti per qualche $n$ quella serie...

[87Fra87]

ciao sono riuscito a risolvere facendo così:

$ n->+oo $
$ n^3 + 3 ~= n^3 rArr sen((n^3+3)/(n)) ~= sen(n^2) $
allora:
$ 0<= (sen((n^3+3)/n)) <= 1 $


allora

$ 0<= (sen((n^3+3)/n))(n/(n^4+4)) <= (n/(n^4+4)) <= n/n^4 = 1/n^3 $

allora dato che $ 1/n^3 $ converge allora converge quella iniziale
Da qui poi calcolo il resto della serie armonica generalizzata

[asker993]

sisi, ci siamo, ti faccio notare che $-1<= (sen((n^3+3)/n)) <= 1$ e non $<=0$ dato che il seno è periodico, non farti ingannare da n che va a piu infinito...perciò nell'ultima disuguaglianza ti manca al posto dello $0$ un $<=-1/n^3$ e poi hai concluso