Serie

[Maryse1]

Dire per quali $x in [0, +∞)$ la seguente serie converge
$ sum_(n = 1)^∞ arctan n^2 -pi/2x^(1/n^2) $
sinceramente mi trovo in difficoltà, e non so da dove iniziare..sicuramente la serie soddisfa la condizione iniziale essendo il termine generale un'infinitesima per n->+∞, però dopo non riesco a combinare nulla.. qualcuno ha qualche idea su come svolgerlo?

[Plepp]

Prova a determinare l'ordine di infinitesimo del termine generale con Taylor.

[Antimius]

Potrebbe aiutarti usare le seguenti uguaglianze:

$arctan n^2=\pi/2-arctan(1/(n^2))$
$x^{1/n^2}=e^{1/(n^2)log x}, \quad x>0$

[Maryse1]

Ok allora ho fatto come avete detto voi, a questo punto poi con lo sviluppo di Taylor delle funzioni trovo che il termine generale è asintotico a $ (-2-pilogx)/(2n^2) $ (sempre se non ho sbagliato).

[Plepp]

In tal caso la serie converge assolutamente per $x>0$, perché il valore assoluto del termine generale va come $1/n^2$, che converge

[Maryse1]

Ok sì, grazie mille