Serie

[Maryse1]

Dire per quali $x in R$ la seguente serie converge.
$ sum_(n = 1)^∞ x^n/n^sqrt(n) $
Io ho provato a svolgerla così: Prima cosa non è una serie a termini positivi poichè x può avere qualsiasi valore e quindi, studio la serie dei valori assoluto ovvero:
$ sum_(n = 1)^∞ |x|^n/n^sqrt(n) $
essendo ora questa una serie a termini positivi, posso applicare uno dei criteri per lo studio della convergenza e qui, ho usato il criterio della radice trovandomi:
$ lim_(n -> +∞) |x|/n^(sqrt(n)/n) $ = |x|
quindi la serie converge per $ |x|<1 $
Ora non mi resta che studiare i casi limite, ovvero quando x=1 ed x=-1. Se x=1 non converge
Se x= -1 la serie diventa
$ sum_(n = 1)^∞ (-1)^n/n^sqrt(n) $ ed essendo una serie a segno alterno posso applicare il criterio di Leibniz, prendo quindi la successione
$ 1/n^sqrt(n) $
e devo dimostrare che è un'infinitesima e che è decrescente. La prima è ovvia, quindi mi manca da dimostrare che è decrescente..come faccio? derivandola? sempre se fin qui lo svolgimento è giusto..

[Maryse1]

Ok grazie mille, quindi alla fine era come avevo fatto io..solo che mi sono sbagliata per quanto riguarda l'estremo 1 dove la serie converge