Serie
Ho svolto un esercizio su una serie:
$\sum_{n=1}^\infty\x^n(1-cos(1/n))$
dovevo stabilire il carattere di questa serie al variare del parametro $x$,
apparentemente mi sembrava facile, ho fatto :
$1-cos(1/n)~1/(2n^2)$
per cui la serie diventa:
$1/2\sum_{n=1}^\infty\x^n/n^2$
ho usato il criterio del rapporto e il limite era uguale a $x$ per cui per $x<1$ la serie converge.
Mi hanno detto che l'esercizio non è sbagliato ma incompleto perchè la serie è a segno alterno, sapreste dirmi perchè
è a segno alterno e cosa dovrei fare?
Grazie
$\sum_{n=1}^\infty\x^n(1-cos(1/n))$
dovevo stabilire il carattere di questa serie al variare del parametro $x$,
apparentemente mi sembrava facile, ho fatto :
$1-cos(1/n)~1/(2n^2)$
per cui la serie diventa:
$1/2\sum_{n=1}^\infty\x^n/n^2$
ho usato il criterio del rapporto e il limite era uguale a $x$ per cui per $x<1$ la serie converge.
Mi hanno detto che l'esercizio non è sbagliato ma incompleto perchè la serie è a segno alterno, sapreste dirmi perchè
è a segno alterno e cosa dovrei fare?
Grazie
Risposte
la serie è a segno non cosatnte, in quanto la presenza di $x^n$ devia il segno del termine generale; allora va considerata la convergenza assoluta, cioè
\begin{align} \left|x^n \cdot \left(1-\cos \frac{1}{n} \right) \right |\end{align}
a questo punto hai una una serie a termini positivi, a cui puoi applicare il criterio del confronto asintotico, come hai fatto:
\begin{align}|x|^n\cdot \left(1-\cos\frac{1}{n} \right) \sim |x|^n\cdot \frac{1}{2n^2} \end{align}
\begin{align} \left|x^n \cdot \left(1-\cos \frac{1}{n} \right) \right |\end{align}
a questo punto hai una una serie a termini positivi, a cui puoi applicare il criterio del confronto asintotico, come hai fatto:
\begin{align}|x|^n\cdot \left(1-\cos\frac{1}{n} \right) \sim |x|^n\cdot \frac{1}{2n^2} \end{align}
ok grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo