Senza l'uso della calcolatrice

[Primavera2020]

In una prova d'esame ho trovato questo quesito:

Dimostrare senza l'uso della calcolatrice che

$9<=(1+e)^4<=256$

Come bisogna risoverlo? Grazie per l'aiuto

[dissonance]

Presumo tu debba dimostrare che quella relazione è vera. Io inizierei con lo scriverla così:
$3^2<=(1+e)^4<=2^8$ e poi andrei a ritroso: estrai la radice quarta (che conserva le disuguaglianze perché tutti i numeri coinvolti sono positivi)
$3^(1/2)<=1+e<=2^2$. Ora ti devi ricordare che $2 da cui $3<=e+1<=4=2^2$.
Per concludere, osserva che $3^(1/2)<3$ (la radice quadrata di un numero più grande di $1$ è più piccola del numero stesso...perché?).

[@melia]

Sei d'accordo sul fatto che $2

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[Primavera2020]

Grazie, tutto chiaro! Pensavo che ci fosse qualche altra strategia (più difficile!). Quindi per dimostrare che:

$(sqrt (e^e))-1 ~=2.28$ dovrei ragionare in una maniera analoga?