Senza de L'Hopital si puo'
Riprendo il post di nepero87 (vedi forum in "Universita' ") per segnalare una possibile
ed elementare soluzione.
Tale soluzione si fonda sulla relazione che segue,valida per piccolo angoli (come si verifica facilmente con una comune calcolatrice):
$x=(tanx+2sinx)/3$
Questa formuletta si puo' giustificare osservando che
(sempre per piccoli angoli) l'arco x,vedi figura, e' con buona approssimazione la
media aritmetica di BC,AB e AT:$x=(BC+AB+AT)/3$.D'altra parte AB e' poco
diverso da BC e dunque $x=(tanx+2sinx)/3$
Sostituendo tale formula nel limite richiesto e semplificando si ha -1/2 come risultato.
La formula puo' servire anche in altri casi (non troppo complicati!).
Che ne dite?
Archimede
ed elementare soluzione.
Tale soluzione si fonda sulla relazione che segue,valida per piccolo angoli (come si verifica facilmente con una comune calcolatrice):
$x=(tanx+2sinx)/3$
Questa formuletta si puo' giustificare osservando che
(sempre per piccoli angoli) l'arco x,vedi figura, e' con buona approssimazione la
media aritmetica di BC,AB e AT:$x=(BC+AB+AT)/3$.D'altra parte AB e' poco
diverso da BC e dunque $x=(tanx+2sinx)/3$
Sostituendo tale formula nel limite richiesto e semplificando si ha -1/2 come risultato.
La formula puo' servire anche in altri casi (non troppo complicati!).
Che ne dite?
Archimede
Risposte
sembra funzionare....però la definizione "per piccoli angoli" non è che sia il massimo.
"Per piccoli angoli " e' chiaramente applicabile nei casi per i quali x->0 e non certo
quando x->inf!!
Per esempio l'ultra famoso limite $lim_(x->0)sinx/x=1$ si puo' dimostrare
immediatamente con la formula riportata.
D'altra parte se non piace si puo' sempre ricorrere a Taylor :si tratta pur sempre
di un metodo alternativo a de L'Hopital !!!
Ma forse non era questa la richiesta di nepero87,o no?
quando x->inf!!
Per esempio l'ultra famoso limite $lim_(x->0)sinx/x=1$ si puo' dimostrare
immediatamente con la formula riportata.
D'altra parte se non piace si puo' sempre ricorrere a Taylor :si tratta pur sempre
di un metodo alternativo a de L'Hopital !!!
Ma forse non era questa la richiesta di nepero87,o no?
A me sembra perfetta come soluzione
"archimede":
"Per piccoli angoli " e' chiaramente applicabile nei casi per i quali x->0 e non certo
quando x->inf!!
Per esempio l'ultra famoso limite $lim_(x->0)sinx/x=1$ si puo' dimostrare
immediatamente con la formula riportata.
D'altra parte se non piace si puo' sempre ricorrere a Taylor :si tratta pur sempre
di un metodo alternativo a de L'Hopital !!!
Ma forse non era questa la richiesta di nepero87,o no?
Credo che la richiesta di nepero87 si proprio questa. Calcolare quel limite con metodi alternativi e "non famosi". Ovviamente, come già detto, i metodi "famosi" sono in molti casi facili da applicare e molto veloci. In certi esercizi viene però richiesta l'abilità del lettore nel trovare metodi alternativi. Mi complimento con archimede per questa elegante soluzione!
"archimede":
Ma forse non era questa la richiesta di nepero87,o no?
La mia richiesta era proprio questa, riuscire a risolvere quel rapporto tra infinitesimi senza usare teoremi vari...
Anzi, ti faccio i complimenti perchè la tua soluzione è semplice e quadrata...
Inoltre è generalizzabile a moltissimi casi di limiti di funzioni goniometriche tendenti a zero...Ma l'hai sviluppata tu da solo?
E si',l'ho trovato da solo:ogni tanto mi vengono di queste idee....balzane.
Comunque il trucco c'e' e magari dopo pranzo lo posto.
Cerea e buon appetito a tutti.
Archie
Comunque il trucco c'e' e magari dopo pranzo lo posto.
Cerea e buon appetito a tutti.
Archie
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