Seno del topologo
Ciao a tutti, vi sembra corretto come ragionamento? (non ho scritto le parti più semplici di cui sono sicuro)
Siano $f: R\\{0} \to R, x \mapsto sin(1/x)$, $X = \{(x, f(x)): 0 \lt x \le 1 \}$, $Y = {(x, f(x)): -1 \le x \lt 0)}$ e $S = X \cup Y \cup ({0} \times [-1, 1])$, S è connesso (eventualmente per archi)?
Io avrei trovato che S è connesso ma non connesso per archi.
Anzitutto noto che $f[(2\pi (k+1))^-1 , (2\pi k )^-1 ] = [-1, 1]$ se $k\ge 1$ intero.
Se S non è connesso allora esistono A, B aperti disgiunti che intersecano S e la loro unione lo contiene; perciò $0_2 \in A \cup B$, supponiamo stia in A, allora esiste $r \gt 0$ t.c. $B(0_2, r] \subseteq A$ e quindi A contiene sia elementi di X che di Y.
Deve essere $ X(Y) \cap B = \emptyset $, ché altrimenti X(Y) non sarebbe connesso (si vede subito che invece è connesso per archi e quindi connesso), stesso ragionamento per ${0} \times [-1, 1]$, pertanto $S \subseteq A$, assurdo; ne segue che S è connesso.
Se S è connesso per archi allora dati $0_2, (1, f(1)) \in S$ esiste $g \in C([a,b], R^2)$ con $g(a) = 0_2$, $g(b) = (1,f(1))$ e $g(t) \in S$ se $t \in [a,b]$.
Sia c= max${t \in [a,b[: g(t) = 0_2 }$ che esiste essendo g continua, allora esiste $\delta >0$ t.c. $||g(t)||\ le 1/2 $ se $t \in [c, c+ \delta]$, ma per l'osservazione fatta all'inizio e il fatto che anche la prima componente di g è continua questo significa che $g(t) = 0_2$ in $[c, c+\delta]$, assurdo.
Siano $f: R\\{0} \to R, x \mapsto sin(1/x)$, $X = \{(x, f(x)): 0 \lt x \le 1 \}$, $Y = {(x, f(x)): -1 \le x \lt 0)}$ e $S = X \cup Y \cup ({0} \times [-1, 1])$, S è connesso (eventualmente per archi)?
Io avrei trovato che S è connesso ma non connesso per archi.
Anzitutto noto che $f[(2\pi (k+1))^-1 , (2\pi k )^-1 ] = [-1, 1]$ se $k\ge 1$ intero.
Se S non è connesso allora esistono A, B aperti disgiunti che intersecano S e la loro unione lo contiene; perciò $0_2 \in A \cup B$, supponiamo stia in A, allora esiste $r \gt 0$ t.c. $B(0_2, r] \subseteq A$ e quindi A contiene sia elementi di X che di Y.
Deve essere $ X(Y) \cap B = \emptyset $, ché altrimenti X(Y) non sarebbe connesso (si vede subito che invece è connesso per archi e quindi connesso), stesso ragionamento per ${0} \times [-1, 1]$, pertanto $S \subseteq A$, assurdo; ne segue che S è connesso.
Se S è connesso per archi allora dati $0_2, (1, f(1)) \in S$ esiste $g \in C([a,b], R^2)$ con $g(a) = 0_2$, $g(b) = (1,f(1))$ e $g(t) \in S$ se $t \in [a,b]$.
Sia c= max${t \in [a,b[: g(t) = 0_2 }$ che esiste essendo g continua, allora esiste $\delta >0$ t.c. $||g(t)||\ le 1/2 $ se $t \in [c, c+ \delta]$, ma per l'osservazione fatta all'inizio e il fatto che anche la prima componente di g è continua questo significa che $g(t) = 0_2$ in $[c, c+\delta]$, assurdo.