Seno & coseno

[leev]

Buongiorno a tutti;
qualcuno di voi sarebbe in grado di provare le seguenti uguaglianze?



Ho provato tramite induzione...ma stento nel passaggio da n a n+1.
grazie
LeeV

L.L

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by leev

Buongiorno a tutti;
qualcuno di voi sarebbe in grado di provare le seguenti uguaglianze?



Ho provato tramite induzione...ma stento nel passaggio da n a n+1.
grazie
LeeV

L.L

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Somma la prima alla seconda moltiplicata per i, dopo di che ricordati la formula dell'esponenziale complesso e il binomio di Newton, forse trovi la soluzione.
Ciao
Mistral

[leev]

umz, thanks
però ho qualche problema a raggruppare poi...

invece ho provato a calcolare la prima uguaglianza partendo dal termine di sinistra:
arrivo a trovare ke è uguale a: "SOMMA(da 0 a n)" di [(n su k) * (e^(i*alfa*k) + e^(i*alfa*(k-n)))/2]
Ma avrei bisogno un (-k) invece di un (k-n) x trovare quello che cerco....

Se qualcuno ci ha capito qc di quello ke ho scritto, lo prego di venirmi in aiuto, thx

L.L

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by leev

umz, thanks
però ho qualche problema a raggruppare poi...

invece ho provato a calcolare la prima uguaglianza partendo dal termine di sinistra:
arrivo a trovare ke è uguale a: "SOMMA(da 0 a n)" di [(n su k) * (e^(i*alfa*k) + e^(i*alfa*(k-n)))/2]
Ma avrei bisogno un (-k) invece di un (k-n) x trovare quello che cerco....

Se qualcuno ci ha capito qc di quello ke ho scritto, lo prego di venirmi in aiuto, thx

L.L

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Allora:
cos(k*alpha)+i*sin(k*alpha)=e^(i*k*alpha)=[e^(i*alpha)]^k (*)
quindi la prima sommatoria più la seconda sommatoria moltiplicata per i ti da:
Somma (k=0,.. n)( (n su k)(e^(i*alpha))^k) (**)
Ora devi ricordare la formula del binomio di Newton:
(a+b)^n= Somma (k,...,n)((n su k)a^kb^(n-k) (***)

quindi se poni in (***) a=e^(i*alpha) e b=1 hai che (**) è uguale a:

(e^(i*alpha)+1)^n (4*)

ora devi sviluppare (4*) come segue

e^(i*alpha)+1=(1+cos(alpha))+i*sin(alpha)

devi ora ricordare le formule:

sin(alpha)=2*cos(alpha/2)*sin(alpha/2) (5*)
(1+cos(alpha))/2=cos(alpha/2)^2

quindi sostituendo in (5*):

e^(i*alpha)+1=2cos(alpha/2)e^(i*alpha/2)

ora se elevi ad n hai:

(e^(i*alpha)+1)^n=2^n*cos(alpha/2)e^(i*n*alpha/2)=
=2^n**cos(alpha/2)(cos(n*alpha/2)+i*sin(n*alpha/2)) (6*)

quindi uguagliando parte reale e parte immaginaria del numero complesso hai le due formule che cerchi.

Ciao

Mistral

[leev]

Grazie Mille Mistral!!!
)

L.L