Sen9x aiuto!

[antonio.ciril]

io so che il sen2x=2senxcosx
perchè sen(x+y)=senxcosy+cosxseny
sostituendo y=x otteniamo 2senxcosx
ma quando al posto del 2 c'è il 9 come si fa??
grazie

[Woody1]

Benvenuto in questo Forum, aliax!
Per calcolare sen(n*x) in funzione di sen(x) si può procedere ricorsivamente:
sen(n*x)=sen((n-1)*x+x)=sen((n-1)*x)*cos(x)+cos((n-1)*x)*sen(x) ;
poi sviluppi sen((n-1)*x) e cos((n-1)*x) ecc...
In questo caso ti torna più comodo sviluppare prima:
sen(9*x)=sen(8*x)*cos(x)+cos(8*x)*sen(x);
poi calcoli:
sen(8*x)=2*sen(4*x)*cos(4*x)=2*(2*sen(2*x)*cos(2*x))*(2*cos(2*x)^2-1)= [sviluppi sen(2*x) e cos(2*x)].
Procedi analogamente per il coseno.
Saluti,

Woody

[antonio.ciril]

e quando poi devo sviluppare cos8x come si fa?

[Rael1]

Esiste un modo un po' più carino, ma occorre avere un po' di familiarità con i numeri complessi, e saper fare le potenze dei binomi. si basa tutto sul teorema di de Moivre e permette di trovare contemporaneamente lo sviluppo sia per Sin[n*x], sia di Cos[n*x]

alcune precisazioni : z è un numero complesso, che poi si suppone essere di modulo unitario, ed il teorema di de Moivre è dimostrabile facilmente passando attraverso la notazione esponenziale.
(è più complicato a dire che a capire)

[Rael1]

il calcolo si semplifica notevolmente dal punto di vista visivo se quando calcoli la potenza del binomio sostituisci Sin[theta] con una lettera, e Cos[theta] con un altra lettera così ti trovi con una cosa del tipo (a + i*b)^n, che sviluppi, raccogli i sermini con i, e risostituisci le lettere con le rispettive funzioni...

[antonio.ciril]

adesso vi spiego perchè ho fatto questa domanda, nel test di medicina 2004/2005 c'era questa domanda:
sen9x-sen3x semplificando a quanto è uguale? e ci sono varie soluzioni. Ho cercato di risolverlo ma ho problemi con la formula di n-plicazione che non ricordo più.L'utente di prima mi ha consigliato un buon metodo ed io l'ho applicato ma mi blocco quando c'è il cos8x che non ricordo come è.Non esiste un metodo come quello per il sennx?
Grazie

[Rael1]

Mah, potresti tentare un altra strada dal momento che Sin[9x] = Sin[3(3x)], quindi se sostituisci nella tua espressione 3x con y, hai una cosa tipo Sin[3y]-Sin[y], ora se ti ricordi la formula per il Sin[3y], il gioco è fatto.

[Rael1]

Ah, ^_^ che scemo, l'avevo scritta nel disegno la formula per il Sin[3x] !, proprio nell'esempio!
(si vede il disegno ?)

[antonio.ciril]

non si vede il disegno

[infinito1]

Non so se nel test di medicina ci fossero domande aperte o domande chiuse.
Nel secondo caso avresti anche potuto farti degli esempi numerici con angoli particolari (per esempio di 10° o di 90°).

[Rael1]

ok, cerchiamo di fare la cosa a parole anche se prevedo che verrà un po' male ok ... vediamo un po'
immagina di avere un numero complesso z di modulo unitario scritto in forma z = (Cos[x]+I*Sin[x]),
ora banalmente z^n = (Cos[x]+I*Sin[x])^n ... che per il teorema di de Moivre , = (Cos[n*x]+I*Sin[n*x]).

ora nell'ultima relazione abbiamo proprio ciò che ci interessa Cos[n*x] e I*Sin[n*x] (quest'ultimo senza la I è ok).
per otterene le espressoni per Sin[nx] e Cos[nx] basta prendere ed elevare alla potenza opportuna (quella che ci interessa) il binomio (Cos[x]+I*Sin[x]), così facendo si ottengono delle espressioni, alcune con I come coefficiente, altre senza la I, se per maggiore chiarezza si raggruppano i termini, mettendo in evidenza la I, si ricavano le espressioni cercate

Es
(Cos[x]+I*Sin[x])^3 = (Cos[3x]+I*Sin[3x]) =
= Cos[x]^3 + 3*I*(Cos[x]^2)*Sin[x] - 3*Cos[x]*(Sin[x]^2) - I*Sin[x]^3

ora se si raccolgono i termini in I, e si impone l'uguaglianza tra 2 numeri complessi (z = w <=> Re[z]=Re[w], Im[z]=Im[w] ... dove Re[...] e Im[...] indicano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero), applicando la formula al nostro caso con Cos[3x], si ottiene che

Cos[3x] = Cos[x]^3 - 3*Cos[x]*(Sin[x]^2)

e per il seno :

Sin[3x] = 3*(Cos[x]^2)*Sin[x] - Sin[x]^3

ora puoi divertirti a trovare le altre formule e a dimostrare quelle che già conosci ^_^.