Sempre su monotonia e derivata prima
oggi faccio l'en plein :
Sia $f:[1,+oo]->RR$ una funzione derivabile con f(2)=-1 e $lim x->+oof(x)=5$. Si dica se è possibile che $f'(x)>=1/x$
grazie anticipatamente stefano
Sia $f:[1,+oo]->RR$ una funzione derivabile con f(2)=-1 e $lim x->+oof(x)=5$. Si dica se è possibile che $f'(x)>=1/x$
grazie anticipatamente stefano
Risposte
se $f'(x)\geq1/x$ allora $f(x)\geqlnx$ che diverge...
così facile?
così facile?
Forse merita più approfondimento:
basta applicare il principio di confronto per ode, il quale afferma che se $f'(x) >= 1/x$, ed $f(2)=-1$, allora si ha che, per $x>=2$, $f$ è maggiore della soluzione del problema $g'(x)=1/x$, $g(2)=-1$, che è $g(x)=log x-1-log 2$.
Dunque $f(x) >= log x-1-log 2$ che tende a $+infty$, per $x -> +infty$, da cui la contraddizione.
basta applicare il principio di confronto per ode, il quale afferma che se $f'(x) >= 1/x$, ed $f(2)=-1$, allora si ha che, per $x>=2$, $f$ è maggiore della soluzione del problema $g'(x)=1/x$, $g(2)=-1$, che è $g(x)=log x-1-log 2$.
Dunque $f(x) >= log x-1-log 2$ che tende a $+infty$, per $x -> +infty$, da cui la contraddizione.
si vabbè... le costanti non ce l'ho messe.. tanto non gli facevano niente al logaritmo
Non è solo una questione di costanti; sono certo che anche tu hai applicato il principio di confronto, ma per come hai esposto sembra quasi che tu abbia preso una disuguaglianza, e l'abbia semplicemente integrata membro a membro; questa procedura non è corretta, ma porta ad una tesi vera, poichè sotto c'è l'uso del principio di confronto per ode, che non si dimostra integrando semplicemente membro a membro.
Mi sono solo permesso di approfondire per evitare che qualcuno avesse interpretato la tua risposta nel senso che ho esposto.
Mi sono solo permesso di approfondire per evitare che qualcuno avesse interpretato la tua risposta nel senso che ho esposto.
scusami Luca, ma non c'è un teorema di monotonia dell'integrale che recita più o meno cosi:
se $f(x)\leqg(x), x\in[a,b]$ allora $\int_a^bf(t)dt\leq\int_a^bg(t)dt$ ?
basta applicare questo con $b=x$...
è questo il teorema del confronto cui ti riferisci?
se $f(x)\leqg(x), x\in[a,b]$ allora $\int_a^bf(t)dt\leq\int_a^bg(t)dt$ ?
basta applicare questo con $b=x$...
è questo il teorema del confronto cui ti riferisci?
Sì, hai ragione, in questo caso funziona anche la semplice monotonia dell'integrale, poichè al secondo membro non hai $f$.
Io in realtà pensavo tu avessi usato il principio di confronto per ode, che invece si applica quando hai una disuguaglianza $f'(x)>=g(x,f(x))$, con $f(x_0)=f_0$; allora si può dimostrare che detta $h$ la soluzione di $h'(x)=g(x,h(x))$, $h(x_0)=f_0$, si ha, per ogni $x>=x_0$, $f(x)>=h(x)$, e, per ogni $x<=x_0$, $f(x)<=h(x)$.
Io in realtà pensavo tu avessi usato il principio di confronto per ode, che invece si applica quando hai una disuguaglianza $f'(x)>=g(x,f(x))$, con $f(x_0)=f_0$; allora si può dimostrare che detta $h$ la soluzione di $h'(x)=g(x,h(x))$, $h(x_0)=f_0$, si ha, per ogni $x>=x_0$, $f(x)>=h(x)$, e, per ogni $x<=x_0$, $f(x)<=h(x)$.
Rettifica: non funziona la monotonia dell'integrale, poichè non è possbile concludere che $int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$; infatti non sappiamo se $f'$ è continua.
Devo accertarmi che funzioni il principio di confronto per ode, che sembra essere l'unica via, se $f$ è solo derivabile.
Devo accertarmi che funzioni il principio di confronto per ode, che sembra essere l'unica via, se $f$ è solo derivabile.
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