Sempre su continuità e differenziabilità
Se prendiamo questa funzione
\(\displaystyle g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{(x + b)}^3} - 3a\quad se\;x > 0}\\
{\cos x\quad se\;x \le 0}
\end{array}} \right. \)
come faccio a determinare a e b reali tali che g sia continua e derivabile nel suo insieme di definizione?
Avete idea di come posso fare?
\(\displaystyle g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{(x + b)}^3} - 3a\quad se\;x > 0}\\
{\cos x\quad se\;x \le 0}
\end{array}} \right. \)
come faccio a determinare a e b reali tali che g sia continua e derivabile nel suo insieme di definizione?
Avete idea di come posso fare?
Risposte
Idee tue?
Questo è un esercizio piuttosto standard...
Questo è un esercizio piuttosto standard...
no no mi sto esercitando sugli appelli non so come fare...help!
A rigor di logica esercitarsi sugli appelli significa tentare personalmente di risolvere gli esercizi proposti dal professore nei compiti vecchi. Che cavolo di senso ha il cercare di farsi fare da altri l'esercizio?
"nitidoz":
Se prendiamo questa funzione
\(\displaystyle g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{(x + b)}^3} - 3a\quad se\;x > 0}\\
{\cos x\quad se\;x \le 0}
\end{array}} \right. \)
come faccio a determinare a e b reali tali che g sia continua e derivabile nel suo insieme di definizione?
Avete idea di come posso fare?
Spero di poter rispondere giacchè non so assolutamente se la mia idea è giusta o meno, vorrei solo capire se ci si può arrivare senza andare a cercare sul libro
fatta questa premessa veniamo al dunque:
affinchè la funzione sia continua il valore a cui tende per $x=0^+$ dev essere uguale al valore che assume in $x=0$
nel nostro caso il coseno di 0 è 1, dunque $(0+b)^3-3a=1 $ da cui
$b^3-3a=1$
poi affinchè sia derivabile la derivata destra e la derivata sinistra in 0 devono essere uguali
di conseguenza la derivata sinistra dovrebbe essere $-sen(0)=0$ (avremo un massimo?)
ugualmente la derivata destra dovrà essere 0.
A questo punto dovrei fare la derivata dell'altra funzione e fare in modo che valga 0 per x=0
a questo punto dovrei aver ottenuto una altra condizione che lega a a b da mettere a sistema con la precedente.
Ti sembra ragionevole?
"gio73":
[...]
poi affinchè sia derivabile la derivata destra e la derivata sinistra in 0 devono essere uguali
[...]
Chiarisci meglio questa affermazione, per favore, ché potrebbe essere falsa.
Non dico altro perché ancora non ho visto le idee dell'utente che ha aperto il topic.
Allora chiarisco a parole per evitare di svolgere l'esercizio completamente, anche se non essendo affatto sicura del fatto mio non dovrei agevolare troppo il ragazzo che deve studiare.
Allora abbiamo una funzione in un certo modo (cosx dovrebbe essere nota, è una funzione periodica, $2kpi$, limitata inferiormente,-1, e superiormente, +1)che si sviluppa nel tratto delle x negative e finisce in y=1 quando x=0, a questo punto dobbiamo attaccarci la funzione che si sviluppa nel tratto delle x positive, questa seconda funzione presenta due termini a e b da scegliere opportunamente. Per prima cosa dobbiamo fare in modo che i due rami si congiungano, così la funzione è continua, pertanto dobbiamo dire che il limite per x che tende a 0 da valori positivi è 1, in questo modo otteniamo una relazione che lega a e b, ma non conosciamo ancora questi valori, la funzione potrebbe arrivare in molti modi a quel limite.
Ora c'è da aggiungere un'altra condizione, non solo i due rami si devono attaccare, ma vogliamo anche che non si formi un punto angoloso, si devono attaccare per così dire "dolcemente", allora se la pendenza della tangente di cosx diminuisce sempre di più avvicinandosi al punto (0;+1), fino a diventare parallela all'asse delle x, ugualmente la pendenza della tangente dell'altra funzione dovrà avvicinarsi sempre di più a 0 per attaccarsi "dolcemente" al ramo negativo.
Ciò può accadere in due modi:
a) la tangente (derivata) ha coefficiente positivo e quindi la funzione si avvicina a (0;+1) dall'alto e avremo un flesso
b) la tangente (derivata) ha coefficiente negativo e quindi la funzione si avvicina a (0;+1) dal basso e avremo un massimo (relativo?)
In tutti i modi devo fare in modo che la derivata prima della funzione positiva valga 0 quando si avvicina a (0;+1) e così mi trovo una seconda relazione tra a e b, i due parametri che devo scegliere opportunamente.
Metto a sistema con la condizione precedente e vedo cosa succede.
Allora abbiamo una funzione in un certo modo (cosx dovrebbe essere nota, è una funzione periodica, $2kpi$, limitata inferiormente,-1, e superiormente, +1)che si sviluppa nel tratto delle x negative e finisce in y=1 quando x=0, a questo punto dobbiamo attaccarci la funzione che si sviluppa nel tratto delle x positive, questa seconda funzione presenta due termini a e b da scegliere opportunamente. Per prima cosa dobbiamo fare in modo che i due rami si congiungano, così la funzione è continua, pertanto dobbiamo dire che il limite per x che tende a 0 da valori positivi è 1, in questo modo otteniamo una relazione che lega a e b, ma non conosciamo ancora questi valori, la funzione potrebbe arrivare in molti modi a quel limite.
Ora c'è da aggiungere un'altra condizione, non solo i due rami si devono attaccare, ma vogliamo anche che non si formi un punto angoloso, si devono attaccare per così dire "dolcemente", allora se la pendenza della tangente di cosx diminuisce sempre di più avvicinandosi al punto (0;+1), fino a diventare parallela all'asse delle x, ugualmente la pendenza della tangente dell'altra funzione dovrà avvicinarsi sempre di più a 0 per attaccarsi "dolcemente" al ramo negativo.
Ciò può accadere in due modi:
a) la tangente (derivata) ha coefficiente positivo e quindi la funzione si avvicina a (0;+1) dall'alto e avremo un flesso
b) la tangente (derivata) ha coefficiente negativo e quindi la funzione si avvicina a (0;+1) dal basso e avremo un massimo (relativo?)
In tutti i modi devo fare in modo che la derivata prima della funzione positiva valga 0 quando si avvicina a (0;+1) e così mi trovo una seconda relazione tra a e b, i due parametri che devo scegliere opportunamente.
Metto a sistema con la condizione precedente e vedo cosa succede.
Scusa la brutalità, gio73, ma io ti avevo chiesto di chiarire un'affermazione, non la spiegazione dell'intero esercizio.
Infatti non ho ancora ben capito cosa intendi, ma comunque ti dico che una funzione è derivabile in un punto \(\displaystyle x_{0} \) se e soltanto se esiste finito il limite del rapporto incrementale o, equivalentemente, se esistono finiti e coincidenti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale. La condizione \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}} f \; '(x)=\lim_{x \to x_{0}^{-}} f\; ' (x) \) non è sufficiente.
Di questa cosa se n'era già discusso sul forum (e ricordo che il mod dissonance portava avanti la sua giusta crociata, al riguardo). Vedi per esempio questa discussione.
Infatti non ho ancora ben capito cosa intendi, ma comunque ti dico che una funzione è derivabile in un punto \(\displaystyle x_{0} \) se e soltanto se esiste finito il limite del rapporto incrementale o, equivalentemente, se esistono finiti e coincidenti i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale. La condizione \(\displaystyle \lim_{x \to x_{0}^{+}} f \; '(x)=\lim_{x \to x_{0}^{-}} f\; ' (x) \) non è sufficiente.
Di questa cosa se n'era già discusso sul forum (e ricordo che il mod dissonance portava avanti la sua giusta crociata, al riguardo). Vedi per esempio questa discussione.
Ciao Delirium, mi sono un po' dilungata, eh? Scusa se ti ho fatto perdere tempo a leggere. 
Riassumo: siamo d'accordo che i due rami si devono attaccare "dolcemente"?
Allora tu dici che i limiti dal rapporto incrementale da dx e sx devono uguagliarsi, e penso che tu abbia ragione (l'ho già letto in discussioni anche più recenti rispetto a quella che mi hai indicato),
non capisco (ma forse sono tarda io) però perchè bisogna fare il rapporto incrementale invece che la derivata prima, che rischi corro con le derivate, cosa mi potrei perdere?
Riassumo: siamo d'accordo che i due rami si devono attaccare "dolcemente"?
Allora tu dici che i limiti dal rapporto incrementale da dx e sx devono uguagliarsi, e penso che tu abbia ragione (l'ho già letto in discussioni anche più recenti rispetto a quella che mi hai indicato),
non capisco (ma forse sono tarda io) però perchè bisogna fare il rapporto incrementale invece che la derivata prima, che rischi corro con le derivate, cosa mi potrei perdere?
"Delirium":
dissonance portava avanti la sua giusta crociata, al riguardo
...in effetti su questo punto sono un po' fanatico!
@gio: Vedi qui
post604508.html#p604508
"gio73":
Allora tu dici che i limiti dal rapporto incrementale da dx e sx devono uguagliarsi, e penso che tu abbia ragione (l'ho già letto in discussioni anche più recenti rispetto a quella che mi hai indicato),
non capisco (ma forse sono tarda io) però perchè bisogna fare il rapporto incrementale invece che la derivata prima, che rischi corro con le derivate, cosa mi potrei perdere?
Nella risoluzione del tuo esercizio tieni conto del fatto che la funzione deve essere continua nel punto $0$ e da questo ottieni delle condizioni sui parametri. Ebbene, per richiedere che in quel punto sia anche derivabile, è sufficiente eguagliare i limiti destro e sinistro nel punto $0$ della $f'(x)$.
Se non richiedi la continuità, però, quest'ultima condizione sulle derivate non garantisce affatto la derivabilità perché il grafico della $f$ potrebbe avere uno "strappo" in $0$. Un esempio potrebbe essere:
\(\displaystyle g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{sin(x) + 999999}\quad se\;x > 0}\\
{sin(x) \quad se\;x \le 0}
\end{array}} \right. \)
Ovviamente $lim_(x -> 0^+) g'(x) = lim_(x -> 0^-) g'(x) = cos(0)$ (*), tuttavia è evidente che questa funzione non è continua e quindi nemmeno derivabile. Usando la definizione di derivabilità, cioè andando a calcolarsi il limite del rapporto incrementale, si vede che le cose vanno male... Prova.
Grazie ragazzi!!!
Credo di aver capito!
La derivata da sola mi dice quale pendenza ha la tangente la funzione, non dove si trova la funzione, due derivate con lo stesso valore individuano due tangenti parallele, ma non è affatto detto che siano coincidenti.
A dire il vero però Delirium nello svolgere l'esercizio mi ero già preoccupata di fare in modo che i due rami fossero continui...
Credo di aver capito!
La derivata da sola mi dice quale pendenza ha la tangente la funzione, non dove si trova la funzione, due derivate con lo stesso valore individuano due tangenti parallele, ma non è affatto detto che siano coincidenti.
A dire il vero però Delirium nello svolgere l'esercizio mi ero già preoccupata di fare in modo che i due rami fossero continui...
No, in realtà è davvero sufficiente la continuità unita al fatto che i limiti della derivata a destra e a sinistra coincidano (ovviamente la funzione deve essere derivabile nell'intorno bucato). Certo bisogna dimostrarlo!
Se invece si parla di derivata destra e sinistra, beh, non c'è nemmeno bisogno di verifare la continuità.
Se invece si parla di derivata destra e sinistra, beh, non c'è nemmeno bisogno di verifare la continuità.
"dissonance":
...in effetti su questo punto sono un po' fanatico!
[...]
E fai bene! Io ultimamente ce l'ho con chi tenta di derivare le successioni (avrò richiamato il Teorema di Stolz-Cesàro almeno 5 o 6 volte)
@gio73: non te la prendere, la mia era solo un'osservazione di carattere un filo più generale - anche perché ancora non mi era chiara la risposta che hai dato più sopra, da cui il mio "rimbrotto". C'è un fatto affine (anche se ha a che fare con la situazione duale rispetto a quella di cui si sta parlando) a questo che indica che i limiti destri e sinistri delle funzioni derivate possono essere infidi. Sia infatti la famosa funzione \[\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^{2} \sin \left( \frac{1}{x} \right) & \mbox{if} \quad x \ne 0 \\ 0 & \mbox{if} \quad x=0 \end{cases} \]
Si osserva facilmente che \[\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \sin \left(\frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \sin \left(\frac{1}{x} \right) = 0 \]
il che significa che tale funzione è continua in \(\displaystyle x=0 \).
La cosa strana che accade è che \[\displaystyle \nexists \quad \lim_{x \to 0^{\pm}} f\;'(x)= \lim_{x \to 0^{\pm}} \left[2x \sin \left(\frac{1}{x} \right) - \cos \left(\frac{1}{x} \right) \right] \]
mentre invece \[\displaystyle \lim_{h \to 0^{\pm}} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h \to 0^{\pm}} \frac{ h^{2} \sin \left(\frac{1}{h} \right)}{h}=0 \]
Quando ci sono dei prolungamenti per continuità bisogna fare attenzione.
"Sergio":
(e qui c'è il bell'esempio Seneca/dissonance ricordato da Delirium).
Se guardi un po' più in basso trovi il post di Dissonance in cui riporta il teorema di Darboux per funzioni derivabili che sostanzialmente dà ragione a Yellow.
Beh a me sembra che la pendenza dipenda solo da $b$, che in questo caso è univocamente determinato. A quel punto si trova anche l'unico $a$ tale che la funzione sia continua.
"yellow":
No, in realtà è davvero sufficiente la continuità unita al fatto che i limiti della derivata a destra e a sinistra coincidano (ovviamente la funzione deve essere derivabile nell'intorno bucato). Certo bisogna dimostrarlo!
Se invece si parla di derivata destra e sinistra, beh, non c'è nemmeno bisogno di verifare la continuità.
E secondo me hai centrato il punto attorno al quale si stà girando!
E' infatti evidente,grazie al marchese pokerista,la validità della seguente proposizione:
$X in mathcal{P}(RR)$ \ ${emptyset}$ t.c. $text{interno}(X)neemptyset$;
$x_0in text{interno}(X)$ t.c. $f:XtoRR$ è continua in $x_0$,$EEdelta>0$ t.c
(1)f è derivabile in $I(x_0,delta)-{x_0}$^
(2)$EElim_(x->x_0^+)f'(x)=lim_(x->x_0^-)f'(x)=l inRRrArr$
$rArrEEf'(x_0)=l$
Mi pare che sia questa cosa a salvare capra e cavoli,ed a risparmiarci problemi evitabili:
infatti dà ragione a posteriori all'approccio di Giò,
perchè ha implicitamente imposto che la f proposta soddisfi,oltre a quelle già evidenti,anche la (2) di questo teoremino,
ed a priori a tutti gli altri approcci,
che ovviamente sono corretti perchè,più o meno esplicitamente,si rifanno alle definizioni e/o a quel teorema,
privo di nome nei miei ingialliti appunti di Analisi I,che ho scoperto grazie a voi essere dovuto a Darboux.
Saluti dal web.
Ciao Sergio. Solo un piccolo inciso: quel teoremino che cito come "di Darboux" non è lo stesso a cui punta il tuo link, anche se gli ho dato lo stesso nome. Successivamente a quel post mi sono accorto che in letteratura più spesso il teoremino è lasciato senza nome, ma era troppo tardi per modificare. Inoltre è vero che quella discussione è un po' confusa (da parte mia), me ne resi conto anche all'epoca: post367921.html#p367921
Mi dispiace aver generato questa confusione...
Lasciate perdere le notazioni e le chiacchiere introdotte da me, invece fate riferimento a qualche libro standard, ben consolidato (tu Sergio ne conosci più di qualcuno).
Mi dispiace aver generato questa confusione...
Lasciate perdere le notazioni e le chiacchiere introdotte da me, invece fate riferimento a qualche libro standard, ben consolidato (tu Sergio ne conosci più di qualcuno).
"Sergio":
[quote="yellow"]No, in realtà è davvero sufficiente la continuità unita al fatto che i limiti della derivata a destra e a sinistra coincidano (ovviamente la funzione deve essere derivabile nell'intorno bucato). Certo bisogna dimostrarlo!
Se invece si parla di derivata destra e sinistra, beh, non c'è nemmeno bisogno di verifare la continuità.
Perdonate, ma dissento (anche da quello ho scritto sopra).
a) La funzione data è definita diversamente su due intervalli connessi, su ciascuno dei quali è continua e derivabile; il problema c'è solo nell'unico punto \(x_0=0\).
b) Ci si interroga su continuità e derivabilità, ma se la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità, la continuità è condizione necessaria della derivabilità. Quindi prima si vede se può esserci continuità in \(x_0\); se sì si può andare avanti, altrimenti ci si ferma.
c) Ciò premesso, non capisco proprio che senso abbia interrogarsi sui limiti delle derivate. La derivata in un punto (di questo si tratta) o esiste o non esiste. Se non esiste abbiamo finito. Se esiste, non è altro che un numero e il suo limite è quel numero.
d) Nel caso specifico, il procedimento di gio73 (il suo "sistema") andava bene in questo senso: se trovo che la continuità è possibile per infiniti valori di \(a,b\), allora posso bene assumerla e cercare valori univoci di \(a,b\) che consentano alla derivata in \(x_0\) di esistere.
[/quote]
a) Ok.
b) Certo, intendevo solo che l'esistenza di derivata destra e sinistra implica la derivabilità nel punto, quindi automaticamente anche la continuità. Invece:
c) Il teorema di cui si parla sfrutta davvero i limiti delle derivate a sinistra e a destra del punto, ma ha bisogno della continuità come ipotesi aggiuntiva.
d) Non ho seguito bene lo svolgimento dell'esercizio ma mi sembra di essere d'accordo con te!
grazie ragazzi... a quanto pare il "teoremino di Darboux" mi è stato spiegato come un corollario della regola di de l'hopital ecco perchè ho fatto poca attenzione...grazie a voi ho aperto gli occhi..
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