Sempre spazi Lp
scusate se vi infastidisco ancora!
ho un esempio pratico:
verificare se la funzione f(x)=logx/((x^2)-1) appartiene a
L^1([0,+inf[);opp.
verificare per quali valori di p>0, la funzione f(x)=1/log(1+e^x) appartiene a L^p(]-1,+inf[).
grazie a chiunque saprà risp, è in gioco il mio esame di analisi III.
ho un esempio pratico:
verificare se la funzione f(x)=logx/((x^2)-1) appartiene a
L^1([0,+inf[);opp.
verificare per quali valori di p>0, la funzione f(x)=1/log(1+e^x) appartiene a L^p(]-1,+inf[).
grazie a chiunque saprà risp, è in gioco il mio esame di analisi III.
Risposte
cara Ester
cominciamo dal primo quesito. Per definizione f(x) appartiene ad L^1 in [0,+00] se esiste l’integrale…
Int [0
Nel caso da te proposto è…
f(x)= ln x/(x^2-1) (2)
E’ abbastanza facile vedere che la funzione è continua e positiva in tutto l’intervallo [0,+00] e che per x-> +00 decresce all’incirca come 1/x^2 [il logaritmo è un infinito di grado inferiore a qualunque numero reale…] e pertanto esiste finito l’integrale…
Int [a
… con a qualunque purchè sia a>0. Viceversa nell’intorno di x=0 il comportamento di f(x) diverge e pertanto è necessaria una verifica.
Dal momento che per 0
f(x)> -ln x (4)
… e l’integrale…
Int [0
… con 0
cordiali saluti!…
lupo grigio
cominciamo dal primo quesito. Per definizione f(x) appartiene ad L^1 in [0,+00] se esiste l’integrale…
Int [0
Nel caso da te proposto è…
f(x)= ln x/(x^2-1) (2)
E’ abbastanza facile vedere che la funzione è continua e positiva in tutto l’intervallo [0,+00] e che per x-> +00 decresce all’incirca come 1/x^2 [il logaritmo è un infinito di grado inferiore a qualunque numero reale…] e pertanto esiste finito l’integrale…
Int [a
… con a qualunque purchè sia a>0. Viceversa nell’intorno di x=0 il comportamento di f(x) diverge e pertanto è necessaria una verifica.
Dal momento che per 0
f(x)> -ln x (4)
… e l’integrale…
Int [0
… con 0
cordiali saluti!…
lupo grigio
cara Ester
premesso che la tua presenza qui non ‘infastidisce’ certo nessuno, veniamo al secondo tuo quesito. Premessa ovvia di carattere generale è che una certa f(x) appartiene a L^p in [a,+00] se esiste l’integrale…
Int [a
Nel caso d te proposto è a=-1 e…
f(x)= 1/ln(1+e^x) (2)
Tu chiedi per quali valori di p>0 f(x) appartiene a L^p in [-1,+00]… Notiamo per prima cosa che f(x) nell’intervallo 1 +00. Dal momento che f(x) è positiva ovunque e per x ‘sufficientemente grande’ vale la relazione…
f(x) < 1/ln e^x = 1/x (3)
… si conclude che per p>1 è…
|f(x)|^p < 1/x^p (4)
… e pertanto f(x) appartiene a L^p. Percepire che cosa succede per p=1 consideriamo l’integrale…
Int [-1
Operando la sostituzione y=1+e^x, con semplici passaggi si trova che l’integrale diviene…
Int[(1+1/e) Int[(1+1/e)
Ora dal momento che la funzione f(y)=1/(y*lny) ha come primitiva F(y)=ln(lny) è evidente che l’integrale (6) è divergente e pertanto f(x) non appartiene a L^1 in [-1,+00]. La stessa cosa è abbastanza facile vedere accade per p<1…
cordiali saluti!…
lupo grigio
premesso che la tua presenza qui non ‘infastidisce’ certo nessuno, veniamo al secondo tuo quesito. Premessa ovvia di carattere generale è che una certa f(x) appartiene a L^p in [a,+00] se esiste l’integrale…
Int [a
Nel caso d te proposto è a=-1 e…
f(x)= 1/ln(1+e^x) (2)
Tu chiedi per quali valori di p>0 f(x) appartiene a L^p in [-1,+00]… Notiamo per prima cosa che f(x) nell’intervallo 1
f(x) < 1/ln e^x = 1/x (3)
… si conclude che per p>1 è…
|f(x)|^p < 1/x^p (4)
… e pertanto f(x) appartiene a L^p. Percepire che cosa succede per p=1 consideriamo l’integrale…
Int [-1
Operando la sostituzione y=1+e^x, con semplici passaggi si trova che l’integrale diviene…
Int[(1+1/e)
Ora dal momento che la funzione f(y)=1/(y*lny) ha come primitiva F(y)=ln(lny) è evidente che l’integrale (6) è divergente e pertanto f(x) non appartiene a L^1 in [-1,+00]. La stessa cosa è abbastanza facile vedere accade per p<1…
cordiali saluti!…
lupo grigio
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