Sempre serie....

[Dust1]

Non sono proprio capace di farmele entrare in testa le serie numeriche....
Per esempio questa:
$sum_(k=0)^(+oo)(pi/2-arctg(sqrt(k^3+1)))$

Ho provato a studiarla col criterio integrale ma non riesco a venirne fuori...

[fireball1]

Beh questa rispetto a quelle che hai postato ieri è abbastanza semplice...
Per $k->+oo$
$pi/2-arctg(sqrt(k^3+1))~~pi/2-arctg(k^(3/2))=arctg(1/k^(3/2))~~1/k^(3/2)
quindi $pi/2-arctg(sqrt(k^3+1))$ è un infinitesimo
di ordine $3/2>1$ per $k->+oo$, da cui la convergenza.

[Dust1]

"fireball":Beh questa rispetto a quelle che hai postato ieri è abbastanza semplice...
Per $k->+oo$
$pi/2-arctg(sqrt(k^3+1))~~pi/2-arctg(k^(3/2))=arctg(1/k^(3/2))~~1/k^(3/2)
quindi $pi/2-arctg(sqrt(k^3+1))$ è un infinitesimo
di ordine $3/2>1$ per $k->+oo$, da cui la convergenza.

Aspetta: come fai a traformare così??? $pi/2-arctg(k^(3/2))=arctg(1/k^(3/2))$

edit: Ok, ho visto.. Comunque, visto che ho già cancellato la parte di ringraziamento, la ripropongo.. Grazie!

[fireball1]

Se vedi sul Bertsch - Dal Passo (io ho l'edizione vecchio
ordinamento, che si chiama Lezioni invece di Elementi)
dovresti trovare anche la dimostrazione che
$arctg(1/x)=pi/2-arctgx$ per ogni $x>0$.
Su quel libro dovrebbero esserci tutti i
"trucchetti" e le disuguaglianze notevoli
che possono venire in aiuto in problemi come questo.
E' la bibbia ufficiale dell'Analisi per noi...

[Fioravante Patrone1]

$arctg(1/x)=pi/2-arctgx$ per ogni $x>0$.

ovvero:
$arctg(1/x) + arctgx=pi/2$ per ogni $x>0$

basta che ti disegni la circonferenza goniometrica, scegli un angolo $x$, fai la costruzione solita per la tangente goniometrica e guardi il disegno ottenuto

è una curiosa uguaglianza, talvolta utile (vedi il tuo esercizio) che tende ad essere dimenticata

[Luca.Lussardi]

Forse tende ad essere dimenticata proprio perchè è utile solo per gli esercizi come questo...

[Fioravante Patrone1]

"Luca.Lussardi":Forse tende ad essere dimenticata proprio perchè è utile solo per gli esercizi come questo...