Sempre analisi a ricerca della f

[dennysmathprof]

se [tex]\displaystyle f\in C^{1}: xf(x)+x^{2}f{'}(x)=\cfrac{x+1}{1+e^{xf(x)}},x>0[/tex]

1)dobbiamo dimostrare che [tex]f(x)=\cfrac{lnx}{x},x>0[/tex]

2)[tex]\displaystyle se \ a\in(1,e): e^{\int_a^{e}\frac{1}{lnx}dx}>(\cfrac{e}{a})^{e}[/tex]

3)trovare i [tex]\displaystyle a,b>0: a^{b}b^{a}=e^{\cfrac{2ab}{e}}[/tex]

dionisio

[Rigel1]

Credo che il primo punto sia
1a) Dimostrare che \(f(x) = (\log x)/x\), \(x>0\), è soluzione dell'equazione differenziale
oppure, in alternativa
1b) Determinare \(f\) che soddisfi l'equazione data e tale che \(f(1) = 0\).

Riguardo agli altri due punti:

2) Ovviamente basta dimostrare che \(\int_a^e \frac{1}{\log x}\, dx > e (1 - \log a)\) per ogni \(a\in (1, e)\).
D'altra parte questa disuguaglianza segue subito dalla seguente, che è conseguenza della (stretta) concavità del logaritmo:
\[
\log x \leq \log e + \log' e \cdot (x-e) = \frac{x}{e}\qquad \forall x>0,
\]
con disuguaglianza stretta se \(x\neq e\).

3) Passando ai logaritmi e dividendo per \(ab\) si ottiene l'uguaglianza equivalente
\[
(*)\qquad \frac{\log a}{a} + \frac{\log b}{b} = \frac{2}{e}\,.
\]
D'altra parte, si vede facilmente che la funzione \(f(x) := (\log x)/x\), \(x > 0\) ha un punto di massimo assoluto stretto in \(x=e\), vale a dire
\[
f(x) < f(e) = \frac{1}{e}\qquad \forall x>0, \ x\neq e.
\]
Di conseguenza la (*) è verificata se e solo se \(a=b=e\).

[dennysmathprof]

grazie Rigel hai raggione

dovevo dare [tex]f(1)=0[/tex].Ialtri pasi secondo me non sono neccesari

Per il tasto anche la mia soluzione e questa

dionisio