Semplici dimostrazioni sulle successioni
Ciao, devo dare un esame di analisi e sono 3 anni che non faccio dimostrazioni come quelle che si incontrano in analisi 1, quindi mi chiedevo se potreste controllare queste dimostrazioni perché ho paura di aver fatto delle schifezze:
1) Dimostrare che se una successione converge nello spazio metrico $(X, d)$ allora è di Cauchy in $(X, d)$
Dalla definizione di successione convergente $x_n -> x$ so che
$$\forall \epsilon > 0 \space \exists n_0 : \forall \space n \geq n_0 \space d(x_n, x) < \epsilon$$ (spero sia giusta)
Se applico la disuguaglianza triangolare con un $x_m$ (con $m \geq n_0$) allora:
$$ d(x_n, x) < d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$
Ma visto che $d(x_m, x) < \epsilon $ perché la successione è convergente allora
$$ d(x_n, x_m) < \epsilon $$
che è la definizione di serie di Cauchy.
2) Dimostrare che se una successione è di Cauchy in $(X, d)$ allora la successione è limitata (faccio la dimostrazione del caso in cui sia superiormente limitata).
La dimostrazione penso sia uguale (simile) a quella "se una successione converge allora è limitata". Io farei:
fisso un $\epsilon$ a caso, tipo $\epsilon = 1$, quindi dal corrispondente $n_0$ in poi sono apposto perché so che la successione sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$. Per trattare la parte minore di $n_0$, cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$. Dunque la successione sarà limitata da $max(u, v)$.
1) Dimostrare che se una successione converge nello spazio metrico $(X, d)$ allora è di Cauchy in $(X, d)$
Dalla definizione di successione convergente $x_n -> x$ so che
$$\forall \epsilon > 0 \space \exists n_0 : \forall \space n \geq n_0 \space d(x_n, x) < \epsilon$$ (spero sia giusta)
Se applico la disuguaglianza triangolare con un $x_m$ (con $m \geq n_0$) allora:
$$ d(x_n, x) < d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$
Ma visto che $d(x_m, x) < \epsilon $ perché la successione è convergente allora
$$ d(x_n, x_m) < \epsilon $$
che è la definizione di serie di Cauchy.
2) Dimostrare che se una successione è di Cauchy in $(X, d)$ allora la successione è limitata (faccio la dimostrazione del caso in cui sia superiormente limitata).
La dimostrazione penso sia uguale (simile) a quella "se una successione converge allora è limitata". Io farei:
fisso un $\epsilon$ a caso, tipo $\epsilon = 1$, quindi dal corrispondente $n_0$ in poi sono apposto perché so che la successione sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$. Per trattare la parte minore di $n_0$, cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$. Dunque la successione sarà limitata da $max(u, v)$.
Risposte
Se riguardi la dimostrazione di 1) confrontandola con quella di Analisi I, vedrai che non è una dimostrazione. Devi aggiustarla, tenendo presente che vuoi dimostrare $d(x_n,x_m)< epsilon$.
Per quanto riguarda la 2), il quesito non ha senso (infatti, a meno che su $X$ non ci sia pure definita una somma “decente”, non puoi parlare di serie).
Per quanto riguarda la 2), il quesito non ha senso (infatti, a meno che su $X$ non ci sia pure definita una somma “decente”, non puoi parlare di serie).
Scusami, ho scritto il messaggio che ero fuso... intendevo successione... Ora correggo il post originale
Chiedo venia
Chiedo venia
Per quanto riguarda la 1 non capisco perché non sia una dimostrazione.
Parto da questo
$$d(x_n, x) < \epsilon$$
che so essere vero per ipotesi. Poi mi trovo questo:
$$d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$
ed infine ottengo (e quindi dimostro) che
$$d(x_n, x_m) < \epsilon $$
Intendi dunque che l'ultimo passaggio non è corretto?
Parto da questo
$$d(x_n, x) < \epsilon$$
che so essere vero per ipotesi. Poi mi trovo questo:
$$d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon $$
ed infine ottengo (e quindi dimostro) che
$$d(x_n, x_m) < \epsilon $$
Intendi dunque che l'ultimo passaggio non è corretto?
Da: \[ d(x_n, x) < \epsilon \] non segue affatto che: \[ d(x_n, x_m) + d(x_m, x) < \epsilon \] così come da $2<3$ non segue che $2.5+1.5<3$.
Già è vero... che vergogna 
che idiota che sono, mi sono accorto adesso di aver scritto una cappellata assurda. Ora ci ripenso. Per la seconda invece? Qualche mostruosità ?
EDIT: scusa ancora... oggi sono veramente stanco e sto continuando a scrivere boiate su boiate. Ora posto la soluzione che penso sia corretta.
Parto da
$$ d(x_n, x) < \epsilon $$
poi sommo ad entrambi i membri della disuguaglianza la quantità positiva $d(x, x_m)$ con $m \ge n_0$:
$$ d(x_n, x) + d(x, x_m) < \epsilon + d(x, x_m) $$
A questo punto posso usare la disuguaglianza triangolare
$$ d(x_n, x_m) < d(x_n, x) + d(x, x_m) < \epsilon + d(x, x_m) $$
e poi, siccome per ipotesi $d(x, x_n) < \epsilon $ allora sarà anche $ d(x, x_m) < \epsilon $ e quindi:
$$ d(x_n, x_m) < 2 \epsilon $$.
che idiota che sono, mi sono accorto adesso di aver scritto una cappellata assurda. Ora ci ripenso. Per la seconda invece? Qualche mostruosità ?EDIT: scusa ancora... oggi sono veramente stanco e sto continuando a scrivere boiate su boiate. Ora posto la soluzione che penso sia corretta.
Parto da
$$ d(x_n, x) < \epsilon $$
poi sommo ad entrambi i membri della disuguaglianza la quantità positiva $d(x, x_m)$ con $m \ge n_0$:
$$ d(x_n, x) + d(x, x_m) < \epsilon + d(x, x_m) $$
A questo punto posso usare la disuguaglianza triangolare
$$ d(x_n, x_m) < d(x_n, x) + d(x, x_m) < \epsilon + d(x, x_m) $$
e poi, siccome per ipotesi $d(x, x_n) < \epsilon $ allora sarà anche $ d(x, x_m) < \epsilon $ e quindi:
$$ d(x_n, x_m) < 2 \epsilon $$.
"dRic":
[...]
$$d(x_n, x_m) < \epsilon $$
Intendi dunque che l'ultimo passaggio non è corretto?
Usa questo come punto di partenza: per la disuguaglianza triangolare \( d(x_n, x_m ) \le d(x_n,x) + d(x,x_m) \le \dots \)
Mi raccomando, scrivere bene i quantificatori.
@delirium ho postato il mio tentativo di soluzione mentre hai commentato 
La farei un pelo meglio.
la dimostrazione
di fatto quello che si fa è di considerare che per una successione di Cauchy esiste almeno un punto(della successione) dalla quale essa non si allontana mai troppo.
Ciò che non mi piace della tua dimostrazione è:
questa(non sono certo del fatto che quel massimo esista, sai che al variare di $n,mgeqn_0$ quella quota è sempre minore od uguale a $1$ ma non sai se ne esistono due per cui $d(x_n,x_m)=1$)
e questa(cosa significa quel massimo?)
la dimostrazione
di fatto quello che si fa è di considerare che per una successione di Cauchy esiste almeno un punto(della successione) dalla quale essa non si allontana mai troppo.
Ciò che non mi piace della tua dimostrazione è:
"dRic":
sarà limitata da, per esempio, $u = max_{n,m \ge n_0}(x_n, x_m) + 1$
questa(non sono certo del fatto che quel massimo esista, sai che al variare di $n,mgeqn_0$ quella quota è sempre minore od uguale a $1$ ma non sai se ne esistono due per cui $d(x_n,x_m)=1$)
"dRic":
cerco il massimo $v = max_{n \le n_0} (x_n)$
e questa(cosa significa quel massimo?)
"dRic":
@delirium ho postato il mio tentativo di soluzione mentre hai commentato
L'idea è corretta, devi solo aggiungere qualche quantificatore qua e là.
Grazie a tutti delle risposte.
@anto_zoolander: grazie per avermi fatto vedere come si fa... non sono molto pratico ad usare l'operatore distanza $d$
@delirium scusa, siccome non sono molto bravo in matematica, mi potresti far vedere di quali quantificatori avrei bisogno ?
@anto_zoolander: grazie per avermi fatto vedere come si fa... non sono molto pratico ad usare l'operatore distanza $d$
@delirium scusa, siccome non sono molto bravo in matematica, mi potresti far vedere di quali quantificatori avrei bisogno ?
È questo il punto: i quantificatori non sono una cosa da aggiungere a "conti fatti" o per rifinimento, come se fossero le ultime cose di cui occuparsi.
I quantificatori sono - o meglio quelli che interessano a te - due: $\forall$ (quantificatore universale, "per ogni") e $\exists$ (quantificatore esistenziale, "esiste almeno un"). Comprendi come funzionano e questo esercizio diventa un semplice esercizio. Rivedi le definizioni e ciascun passo. Smonta l'intero esercizio, se necessario.
[ot]Non insegnano più quei tre rudimenti di logica?
[/ot]
I quantificatori sono - o meglio quelli che interessano a te - due: $\forall$ (quantificatore universale, "per ogni") e $\exists$ (quantificatore esistenziale, "esiste almeno un"). Comprendi come funzionano e questo esercizio diventa un semplice esercizio. Rivedi le definizioni e ciascun passo. Smonta l'intero esercizio, se necessario.
[ot]Non insegnano più quei tre rudimenti di logica?
[/ot]
Ok, ma io aggiungerei solo quelli delle definizioni (che avevo scritto nel primo post e non sono stato a riscrivere) e poi quando ho aggiunto il termine $x_m$ avrei dovuto fare per $m$ la stessa cosa che viene fatta per $n$. Essendo però diciamo "noti" (perché parti di definizioni di convergenza e serie di Cauchy) non sono stato a riscriverli.
A parte questi, ce ne sono altri ?
A parte questi, ce ne sono altri ?
"dRic":
Ok, ma io aggiungerei solo quelli delle definizioni (che avevo scritto nel primo post e non sono stato a riscrivere) e poi quando ho aggiunto il termine $x_m$ avrei dovuto fare per $m$ la stessa cosa che viene fatta per $n$. Essendo però diciamo "noti" (perché parti di definizioni di convergenza e serie di Cauchy) non sono stato a riscriverli.
A parte questi, ce ne sono altri ?
Sono quelli. Comunque successione, non serie.
@Delirium, ok grazie mille davvero 
. Cavolo... ci sto diventando cretino a chiamare serie e successioni con i nomi invertiti 
. Cavolo... ci sto diventando cretino a chiamare serie e successioni con i nomi invertiti
"dRic":
@anto_zoolander: grazie per avermi fatto vedere come si fa... non sono molto pratico ad usare l'operatore distanza $d$.
Detto in maniera molto semplice, si usa come la distanza in $RR$.
In pratica, per adattarsi una dimostrazione di Analisi I in contesto più generale, basta sostituire $|x-y|$ con $d(x,y)$.
@dRic però non mi è piaciuta la posizione $v=max(x_n)$ e vorrei che tu capissi il perché, potresti portartelo ‘malsanamente’ dietro.
@anto
cercavo di affermare che: di tutti i valori prima di $n_0$ prendo il "massimo". Ma ovviamente non so neanche come definire il massimo se non so come sono fatti gli elementi. Quindi è giusto usare il concetto di distanza, come hai fatto tu.
Ho capito bene?
cercavo di affermare che: di tutti i valori prima di $n_0$ prendo il "massimo". Ma ovviamente non so neanche come definire il massimo se non so come sono fatti gli elementi. Quindi è giusto usare il concetto di distanza, come hai fatto tu.
Ho capito bene?
esatto 
in genere non sai nemmeno se lo spazio è ordinato, quindi non ha senso parlare di massimi.
in genere non sai nemmeno se lo spazio è ordinato, quindi non ha senso parlare di massimi.
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