Semplice limite, dubbio
Ciao, allora io dovrei studiare le singolarità della funzione
$f(z) = sin^2(z)/(z*(z^2+1))$
Io individuo le singolarità da studiare in $z_0=0$, $z_(1,2)=+-i$
Ora,
$lim_(z->0)f(z) = lim_(z->0)(sin(z)/z)*(sin(z)/(z^2+1)) = 0$
Per il limite per $z->+-i$, ho pensato di scrivere $sin(z)=(e^(iz)-e^-(iz))/(2i)$ ed effettuare il $lim_(z->+-i)$... mi confermate che ho imboccato la strada corretta?
$f(z) = sin^2(z)/(z*(z^2+1))$
Io individuo le singolarità da studiare in $z_0=0$, $z_(1,2)=+-i$
Ora,
$lim_(z->0)f(z) = lim_(z->0)(sin(z)/z)*(sin(z)/(z^2+1)) = 0$
Per il limite per $z->+-i$, ho pensato di scrivere $sin(z)=(e^(iz)-e^-(iz))/(2i)$ ed effettuare il $lim_(z->+-i)$... mi confermate che ho imboccato la strada corretta?
Risposte
Probabilmente intendevi:
$[f(z)=(sin^2z)/(z(z^2+1))=(sin^2z)/(z(z+i)(z-i))]$
In ogni modo, nello studio di $[z=+-i]$, non vedo la necessità di quella trasformazione. Infatti, basta calcolare i due limiti:
$[lim_(z->-i)(z+i)f(z)=lim_(z->-i)(sin^2z)/(z(z-i))=-1/2sen^2(-i)]$
$[lim_(z->i)(z-i)f(z)=lim_(z->i)(sin^2z)/(z(z+i))=-1/2sen^2i]$
Essendo finiti, $[z=+-i]$ sono poli del primo ordine. Inoltre, dopo aver calcolato:
$[lim_(z->0)f(z)=lim_(z->0)(sin^2z)/(z(z+i)(z-i))=0]$
dovresti dire esplicitamente che $[z=0]$ è una singolarità eliminabile.
$[f(z)=(sin^2z)/(z(z^2+1))=(sin^2z)/(z(z+i)(z-i))]$
In ogni modo, nello studio di $[z=+-i]$, non vedo la necessità di quella trasformazione. Infatti, basta calcolare i due limiti:
$[lim_(z->-i)(z+i)f(z)=lim_(z->-i)(sin^2z)/(z(z-i))=-1/2sen^2(-i)]$
$[lim_(z->i)(z-i)f(z)=lim_(z->i)(sin^2z)/(z(z+i))=-1/2sen^2i]$
Essendo finiti, $[z=+-i]$ sono poli del primo ordine. Inoltre, dopo aver calcolato:
$[lim_(z->0)f(z)=lim_(z->0)(sin^2z)/(z(z+i)(z-i))=0]$
dovresti dire esplicitamente che $[z=0]$ è una singolarità eliminabile.
Si, esattamente. Diciamo che non mi piaceva molto scrivere $sin(i)$, non so per quale motivo. Comunque finalmente questa materia inizia a girare per il verso giusto!
E' il maledetto ultimo esame prima di laurearmi!!
Grazie mille, sono + tranquillo. Credo che questo periodo posterò molti esercizi risolti da me, sperando che le soluzioni siano quelle corrette...
Questo forum spacca! Onore all'ideatore e a tutti coloro che lo sostengono!
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"Uomosenzasonno":
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In bocca al lupo e ... non trascurare il sonno.
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Si, esattamente. Diciamo che non mi piaceva molto scrivere $sin(i)$, non so per quale motivo. Comunque finalmente questa materia inizia a girare per il verso giusto!
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Grazie mille, sono + tranquillo. Credo che questo periodo posterò molti esercizi risolti da me, sperando che le soluzioni siano quelle corrette...
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E perché non ti piace $\sin(i)$? E' una cosa tanto bella:
$\sin(i)={e^{i^2}-e^{-i^2}}/{2i}={e^{-1}-e^{1}}/{2i}={1-e^2}/{2ie}=i/{2e}(e^2-1)=i\sinh(1)$
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