Semplice limite

[Danying]

$lim_(x to - infty) (2x)/ (sqrt(x^2+2x) -x) = -1$

provando a semplificare nel testo il passaggio successivo è il seguente $ 2/(-sqrt(1+2/x)-1)$ quello che non capisco è da dove spunta fuori il $-$ davanti alla radice


non ho capito bene cosa si è fatto....

[*v.tondi]

Attento ai passaggi:
$lim_(xto-infty)(2x)/(sqrt(x^2+2x)-x)$
$lim_(xto-infty)(2x)/(sqrt(x^2(1+2/x))-x)$
$lim_(xto-infty)(2x)/(|x|sqrt(1+2/x)-x)$
$lim_(xto-infty)(2x)/(-xsqrt(1+2/x)-x)$
$lim_(xto-infty)(2)/(-sqrt(1+2/x)-1)$. Chiaro? Continua tu.

[Gi81]

$sqrt(x^2+2x)=|x|sqrt(1+2/x)$ e per $x->-oo$ diventa $-xsqrt(1+2/x)$

[Danying]

"v.tondi":Attento ai passaggi:
$lim_(xto-infty)(2x)/(sqrt(x^2+2x)-x)$
$lim_(xto-infty)(2x)/(sqrt(x^2(1+2/x))-x)$
$lim_(xto-infty)(2x)/(|x|sqrt(1+2/x)-x)$
$lim_(xto-infty)(2x)/(-xsqrt(1+2/x)-x)$ <--- Assegniamo il segno $-$ alla x del valore assoluto, poichè $x to - infty$ giusto?, se no sarebbe stato $x$ in caso di $+infty$....
$lim_(xto-infty)(2)/(-sqrt(1+2/x)-1)$. Chiaro? Continua tu.

precisamente non ho chiar l'ultimo passaggio ovvero la semplificazione con $2x$; come mai a seguito della semplificazione ... una x al denominatore scompare lasciando spazio al segno $-$
mentre l'altra x si semplifica e si lascia $-1$ ??

[*v.tondi]

Se dividi numeratore e denominatore per $x$ cosa ottieni? Prova e se hai dubbi chiedi.

[Danying]

"v.tondi":Se dividi numeratore e denominatore per $x$ cosa ottieni? Prova e se hai dubbi chiedi.

perfetto capito;

se era $x to +infty$ a livello di calcoli cosa cambiava..?

[pater46]

il limite sarebbe venuto 1, perchè al denominatore $|x|$ sarebbe stato uguale ad $x$.

[Danying]

"pater46":il limite sarebbe venuto 1, perchè al denominatore $|x|$ sarebbe stato uguale ad $x$.

ehm allora il cambio di espressioni sta all'inizio del calcolo;

Praticamente il limite nella forma iniziale è $lim_(x to + infty) (x+ sqrt(x^2+2x))$

arriviamo alla forma scritta sopra razionalizzando $lim_(xto+infty)(2x)/(|x|sqrt(1+2/x)-x)$ o no ?


nel libro il limite fa $+infty$ ma non ho chiaro cosa cambia di preciso.... nel calcolo ...

[pater46]

Ma no ma scusa il primo va a $+oo$ subito.. perchè razionalizzi? è il limite di due termini che tendono a $+oo$.

[Danying]

"pater46":Ma no ma scusa il primo va a $+oo$ subito.. perchè razionalizzi? è il limite di due termini che tendono a $+oo$.

di già vero!!!!!!!!!