Semplice integrale indefinito

[Franzoi1]

Ho dei problemi con questo integrale. Non dovrebbe essere difficile risolverlo ma non ne vengo fuori. Qualche anima pia potrebbe darmi una mano?
La funzione in questione è:
$ int_^(1/(1-x^2)) $

[j18eos]

La primitiva è il settoretangente iperbolico o tangente iperbolica inversa; per riferimento http://it.wikipedia.org/wiki/Funzioni_iperboliche#Funzioni_iperboliche_fornite_da_integrali.

P.S.: Ci manca il $dx$!

[Darèios89]

Sarà quello che dici tu j18eos.
Ma come ci arriviamo?

Io suggerirei di scivere l'integrale come:

[tex]\int\frac{1}{(1-x)(1+x)}[/tex]

Sapresti continuare?

Io sono arrivato ad un risultato simile da quello corretto. Ma devo aver fatto qualche errore.
La strada però..dovrebbe essere quella.

[Seneca1]

"Darèios89":

[tex]\int\frac{1}{(1-x^2)(1+x^2)}[/tex]

Sicuro?

[Darèios89]

"Seneca":[quote="Darèios89"]

[tex]\int\frac{1}{(1-x^2)(1+x^2)}[/tex]

Sicuro?[/quote]

No...

[tex]\int\frac{1}{(1-x)(1+x)}[/tex]

Sarà l'orario...no no....sono io che sono troppo distratto...

[DajeForte]

Prova a scriverlo così.

$1/((1-x)(1+x))=A/(1+x)+B/(1-x)$

[j18eos]

Questa è la strada per calcolarlo; io l'ho visto come integrale notevole ed ho dato direttamente il risultato. Tutto qua!

[Franzoi1]

probabilmente bastava accorgersi che era un integrale notevole..e io decisamente non me ne ero accorto.Grazie mille a tutti per l'aiuto

[j18eos]

Prego; per cronaca non tutti i docenti lo prendono come integrale notevole.
Integralo comunque secondo la tecnica indicatati

[Darèios89]

Eh appunto, grazie per averlo postato, io avrei qualche problema, le costanti valgono entrame [tex]\frac{1}{2}[/tex] e allota l'integrale diventerebbe:

[tex]\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-x}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}dx[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}log|x-1|dx+\frac{1}{2}log(1+x)dx[/tex]

Già qui forse sbaglio......poi a me verrebbe

[tex]\frac{log(\frac{x-1}{1+x})}{2}[/tex]


Dove sbaglio?

[j18eos]

Ti ricordo che [tex]$\forall x;y>0,\,\log x-\log y=\log\frac{x}{y};\,\int\frac{1}{x}dx=\log|x|+c$[/tex], prova a trovare l'errore!?

[Darèios89]

Mh...non riesco a trovarlo,...comunque dai calcoli avrei sbagliato a scrivere

[tex]-\frac{1}{2}\int-\frac{1}{1-x}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}dx[/tex]

Diventerebbe:

[tex]\frac{log\frac{1+x}{|1-x|}}{2}[/tex]

Non dovrebbe venire così?

Perchè è sbagliato?

[j18eos]

[tex]-\frac{1}{2}\int\frac{-1}{1-x}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}dx=-\frac{1}{2}\log|1-x|+\frac{1}{2}\log|1+x|+c=\frac{1}{2}\log|\frac{1+x}{1-x}|+c[/tex]

Trova i tuoi 2 errori!

Una volta integrato non ci vuole il $dx$

[Darèios89]

Allora....vediamo...nella prima parte ho messo [tex]-\frac{1}{2}[/tex] perchè mi serve cambiare di segno per il logaritmo all'interno dell'integrale, poi quello che c'è dopo(il secondo integrale mi sembra corretto).

C'è un errore già nella prima parte quando ancora sono integrali o il problema è dopo quando dagli integrali scrivo i logaritmi?

[j18eos]

Quando risolvi l'integrale dimentichi qualcosa nell'argomento del logaritmo!

[Darèios89]

Nel primo logaritmo o nel secondo?

Se ho:

[tex]\frac{-1}{1-x}[/tex]

Non viene log|1-x|?

[j18eos]

Questo "integrale" è corretto! L'altro non proprio.

[Darèios89]

[tex]\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x}[/tex]

Dovrebbe fare...[tex]\frac{log(x+1)}{2}[/tex]

Ho controllato sul Derive...

[j18eos]

A meno che io sia diventato completamente incapace anche di leggere una tabella degl'integrali indefiniti qui: la primitiva ricercata è [tex]$\frac{1}{2}\log|x+1|$[/tex] e non [tex]$\frac{1}{2}\log(x+1)$[/tex]; a meno della costante additiva.

[Darèios89]

Ma l'errore è allora nel risultato finale?

CIoè che [tex]\frac{log\frac{1+x}{|1-x|}}{2}[/tex] è sbagliato perchè deve essere:

[tex]\frac{log\frac{|1+x|}{|1-x|}}{2}[/tex] ?

Il risultato è sempre sbagliato, ma non capisco perchè..

[j18eos]

Ti trovi [tex]$\frac{\log\frac{|1+x|}{|1-x|}}{2}=\frac{1}{2}\log\bigg|\frac{1+x}{1-x}\bigg|$[/tex]. Il risultato così non è errato!

Ti ricordo che: [tex]$\forall a\in\mathbb{R}\ni b\ne0,\,\bigg|\frac{a}{b}\bigg|=\frac{|a|}{|b|}$[/tex]