Semplice integrale
Ciao,
mi stavo chiedendo com'è che vanno risolti esercizio del tipo:
"Nota la funzione $g(x)$ trova $f$ tale che:
$int_0^x f = g(x)$"
Io ne ho risolto qualcuno un po' ad intuito e un po' a tentativi, ma non ho un vero e proprio metodo. All'inizio avevo pensato di fare così:
$int_0^x f = F(x) - F(0)$ con $ \dot F = f$ e a questo punto:
$int_0^x f = F(x) - F(0) = g(x)$ che derivata dà $f(x) - f(0) = \dot g$.
Però non so bene come gestire quell'$f(0)$
mi stavo chiedendo com'è che vanno risolti esercizio del tipo:
"Nota la funzione $g(x)$ trova $f$ tale che:
$int_0^x f = g(x)$"
Io ne ho risolto qualcuno un po' ad intuito e un po' a tentativi, ma non ho un vero e proprio metodo. All'inizio avevo pensato di fare così:
$int_0^x f = F(x) - F(0)$ con $ \dot F = f$ e a questo punto:
$int_0^x f = F(x) - F(0) = g(x)$ che derivata dà $f(x) - f(0) = \dot g$.
Però non so bene come gestire quell'$f(0)$
Risposte
Ti chiede soltanto di trovare una primitiva
?
Casomai una derivata...
Casomai una derivata...
Se ti chiede di trovare una funzione $f$ tale che $int_(0)^(x)f(t)dt=g(t)$ essendo la funzione integrale una primitiva..
Se $g$ è la (una) primitiva di $f$ allora, siccome devo calcolare $f$, $f$ è la derivata di $g$, no?
Hai ragione, scusami. Ho letto al contrario il problema e hai ragione
Hai una funzione $g$ e ti dice di trovare una funzione $f$ tale che $int_(0)^(x)f(t)dt=g(t)$
Ora se questa funzione $f$ esiste, mettendo l’ipotesi che sia continua su un compatto, per il teorema fondamentale del calcolo deve aversi che
$d/(dx)int_(0)^(x)f(t)dt=g’(x) => f(x)=g’(x)$
Quindi a meno di qualche mancata ipotesi, penso che sia così
Oppure come hai fatto tu $d/(dx)[F(x)-F(0)]=f(x)$ perché $F(0)$ è una costante, che poi è sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale
Hai una funzione $g$ e ti dice di trovare una funzione $f$ tale che $int_(0)^(x)f(t)dt=g(t)$
Ora se questa funzione $f$ esiste, mettendo l’ipotesi che sia continua su un compatto, per il teorema fondamentale del calcolo deve aversi che
$d/(dx)int_(0)^(x)f(t)dt=g’(x) => f(x)=g’(x)$
Quindi a meno di qualche mancata ipotesi, penso che sia così
Oppure come hai fatto tu $d/(dx)[F(x)-F(0)]=f(x)$ perché $F(0)$ è una costante, che poi è sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale
"anto_zoolander":
Oppure come hai fatto tu $\frac d {dx}[F(x)−F(0)]=f(x)$ perché $F(0)$ è una costante, che poi è sempre il teorema fondamentale del calcolo integrale
Questa cosa non mi torna molto. Se fosse come dici tu $int_0^x f = g$ implicherebbe $f = \dot g$, ma ciò non è necessariamente vero. Prendendo g = $e^x$, per esempio, viene che $int_0^x f(t) dt = e^x$. Ma in questo caso $f$ non può essere $e^t$
Come no? Se quell’uguaglianza è vera allora si avrà $f(x)=e^x$
Poi la variabile di integrazione la puoi chiamare come vuoi, ciò che ti interessa è che la derivata della funzione integrale abbia questa proprietà.
prima parte
Poi la variabile di integrazione la puoi chiamare come vuoi, ciò che ti interessa è che la derivata della funzione integrale abbia questa proprietà.
prima parte
Ma scusa se $f = e^t$
$int_0^x e^t dt = e^x - e^0 = e^x - 1$
Ma $g = e^x$
dunque $int_0^x f != g$
o sto sbagliando qualcosa io?
$int_0^x e^t dt = e^x - e^0 = e^x - 1$
Ma $g = e^x$
dunque $int_0^x f != g$
o sto sbagliando qualcosa io?
ho modificato il messaggio che avevo fatto una svista
Come fai a dire che sono diverse? Una cosa è la funzione integranda, un’altra cosa è la funzione integrale
$f(x)=int_(0)^(x)e^tdt=e^x-1=>f’(x)=e^x$ poi si cambia la notazione della variabile nell’integrazione, ma non c’è ambiguità
$f(x)=int_(0)^(x)e^tdt=e^x-1=>f’(x)=e^x$ poi si cambia la notazione della variabile nell’integrazione, ma non c’è ambiguità
Forse mi sono spiegato male.
Risolviamo il problema seguente:
$int_0^x f = e^x$
Se $f = e^t$
$int _0^x e^t dt = e^x - 1 != e^x$
Risolviamo il problema seguente:
$int_0^x f = e^x$
Se $f = e^t$
$int _0^x e^t dt = e^x - 1 != e^x$
Ma la $f$ è incognita nel tuo esempio la stai assumendo.
Sono ad una comunione quindi non riesco a trasmettere perfettamente quello che voglio dire però in sostanza la cosa segue dal teorema fondamentale del calcolo in quanto la funzione integrale è una primitiva della integranda e che due primitive differiscono per una costante
Sono ad una comunione quindi non riesco a trasmettere perfettamente quello che voglio dire però in sostanza la cosa segue dal teorema fondamentale del calcolo in quanto la funzione integrale è una primitiva della integranda e che due primitive differiscono per una costante
La $f$ è incognita, ma seguendo il ragionamento di prima dovrebbe risultare $f = e^t$ cosa non vera. Magari ho capito male quello che volevi dire
Comunque che grande che stai qua durante una comunione ahahahahahahah 
"dRic":
Ciao,
mi stavo chiedendo com'è che vanno risolti esercizio del tipo:
"Nota la funzione $g(x)$ trova $f$ tale che:
$int_0^x f = g(x)$"
Innanzitutto, osserverei due cose:
[*:3if5yw14] innanzitutto, affinché l'uguaglianza valga deve risultare necessariamente $g(0)=0$ poiché il primo membro si annulla per $x=0$;
[/*:m:3if5yw14]
[*:3if5yw14] seconda cosa, dato che la funzione integrale di una funzione limitata ed integrabile alla Riemann sui compatti è (assolutamente) continua, affinché l'uguaglianza valga la $g$ deve essere (assolutamente) continua.[/*:m:3if5yw14][/list:u:3if5yw14]
In tali ipotesi, che garantiscono la buona posizione del problema, si può ragionare sulla possibile soluzione.
Se $g$ è una funzione di classe $C^1$, allora l'unica soluzione del problema è $f=g^\prime$.
Nel caso in cui $g$ è assolutamente continua ma non di classe $C^1$, la soluzione del problema esiste comunque ed, in un senso generalizzato, è comunque una "derivata" di $g$, che si chiama derivata debole... Ma di queste questioni ti occuperai più avanti.
Se, invece, tali ipotesi non sono soddisfatte, il problema non ammette soluzione.
Grazie gugo82 per la risposta. Il mio problema sta proprio nel capire perché $g(0) = 0$. Sinceramente non ho capito la frase
Magari è qualcosa di banale, ma proprio mi sfugge il ragionamento che c'è dietro
"gugo82":
... poiché il primo membro si annulla per $x=0$;
Magari è qualcosa di banale, ma proprio mi sfugge il ragionamento che c'è dietro
Beh, semplicemente perché:
\[
\int_0^0 f(t) \ \text{d} t = 0
\]
per definizione.
\[
\int_0^0 f(t) \ \text{d} t = 0
\]
per definizione.
$g(0)=int_(0)^(0)f(t)dt$ quindi...
Preceduto
Preceduto
Già! che sbadato che sono!
Perché dentro di me pensavo che questo non è altro che un banalissimo caso di equazione differenziale, ma mi mancava la condizione al contorno per trovare la primitiva.
Grazie mille!
Ps: generalizzando per un integrale $int_a^x f = g$ deve essere $g(a) = 0$, giusto ?
Perché dentro di me pensavo che questo non è altro che un banalissimo caso di equazione differenziale, ma mi mancava la condizione al contorno per trovare la primitiva.
Grazie mille!
Ps: generalizzando per un integrale $int_a^x f = g$ deve essere $g(a) = 0$, giusto ?
Si.
Ps: la comunione mi annoiava
Ps: la comunione mi annoiava
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