Semplice integrale

[markolino]

Ho questo semplicissimo integrale:

[tex]\int (six+1)cosxdx[/tex]

Risolvendolo con la formula [tex]\frac {f(x)^{\alpha +1}}{\alpha +1}[/tex] ottengo:

[tex]\frac{(sinx+1)^2}{2}[/tex]

Mentre effettuando il prodotto e utilizzando la sostituzione:

[tex]cosxdx=dt[/tex]

[tex]sinx=t[/tex]

Ottengo:

[tex]\frac{(sinx)^2+2sinx}{2}[/tex]

Apparentemente i due risultati sono diversi, ma entrambi i procedimenti dovrebbero essere giusti, quindi come mi riconduco da uno all'altro risultato?

[matteotass]

L' integrale lo calcoli a meno di una costante, quindi ottieni:
$((sin(x)+1)^2)/2 +c$
nel primo caso, e nel secondo
$(sin(x)^2+2sin(x))/2+c=(sin(x)^2+2sin(x)+1-1)/2+c=((sin(x)+1)^2 )/2-1/2 +c=((sin(x)+1)^2)/2 +c$

[21zuclo]

"ireon":

Mentre effettuando il prodotto e utilizzando la sostituzione:

[tex]cosxdx=dt[/tex]

[tex]sinx=t[/tex]

$\int (\sin (x)+1)\cos x dx$

io avrei fatto $\sin (x)+1=y$

da cui $\cos(x)dx=dy\to dx=(dy)/(\cos(x))$

così ottieni $\int (y) \cos(x) (dy)/(\cos(x))=\int y dy= (y^2)/(2)+C =(\sin(x)+1)^2/(2)+C$

oppure come avevi fatto all'inizio riconducendoti all'integrale immediato
$\int f^(\alpha) (x)\cdot f'(x)dx=(f^(\alpha+1)(x))/(\alpha+1)+C$ con $\alpha \ne -1$

se noti ottieni lo stesso risultato