Semplice informazione: asintotico dell'arccosx

[ballo1]

come da titolo, qual è l'asintotico dell'arccosx? e per fare l'asintotico l'argomento di arccosx deve essere = a 1 giusto? non riesco a trovare da nessuna parte informazioni a riguardo

[Lorin1]

Per asintotico intendi una funzione che è dello stesso ordine di quella di partenza? Tipo ad esempio $sinx$ con $x$ (con $x->0)$?

[Seneca1]

"ballo":come da titolo, qual è l'asintotico dell'arccosx? e per fare l'asintotico l'argomento di arccosx deve essere = a 1 giusto? non riesco a trovare da nessuna parte informazioni a riguardo

per $x -> 0$, $arccos(x)$ non è un infinitesimo.

Consideriamo quindi $arccos(x) - pi/2$, il quale, al tendere di $x$ a $0$, ha limite $0$.


$lim_(x -> 0) (arccos(x) - pi/2)/x^(a)$

Applicando De L'Hospital, cerchiamo di determinare l'ordine di questo infinitesimo.

$lim_(x -> 0) - (1/(sqrt( 1 - x^2)))/(a*x^(a - 1)) = L => lim_(x -> 0) (arccos(x) - pi/2)/x^(a) = L$

$lim_(x -> 0) - (1/(sqrt( 1 - x^2)))/(a*x^(a - 1))$ questo limite risulta $L in RR - {0}$ se pongo $a = 1$. Significa che $arccos(x) - pi/2$ è un infinitesimo dello stesso ordine di $x$.

$lim_(x -> 0) (arccos(x) - pi/2)/x = - 1$

Scrivendo fuori dal limite, hai:

$arccos(x) - pi/2 = x*(- 1 + o(1))$

$arccos(x) - pi/2 = - x + o(x)$

$arccos(x) = pi/2 - x + o(x)$

$arccos(x) sim pi/2 - x$

Era questo che cercavi?

[ballo1]

@ Lorin si intendo quello
@ Seneca si cercavo questo.

Perchè devo risolvere questo limite: $\lim_{x \to (1/4)} arccos(4x)/(4x-1)$ e mi è venuto in mente che magari potevo usare l'asintotico dell'arccos ma non lo conoscevo. In questo caso x tende a 1/4 quindi l'asintotico non penso posso usarlo. Ho provato con De l'Hopital ed esce $-1/sqrt(15)$ e mi sembra corretto! sembra però..peccato che non ho la soluzione

[stefano_89]

"ballo":@ Lorin si intendo quello
@ Seneca si cercavo questo.

Perchè devo risolvere questo limite: $\lim_{x \to (1/4)} arccos(4x)/(4x-1)$ e mi è venuto in mente che magari potevo usare l'asintotico dell'arccos ma non lo conoscevo. In questo caso x tende a 1/4 quindi l'asintotico non penso posso usarlo. Ho provato con De l'Hopital ed esce $-1/sqrt(15)$ e mi sembra corretto! sembra però..peccato che non ho la soluzione

Guarda che ti sei risposto da solo nel primo messaggio. $arcocos(x)$ per $x->1$ è infnitesimo, ed è proprio il tuo caso..

[ballo1]

si esatto, per questo l'ho chiesto. Magari essendo infinitesimo e ritrovandomi in una forma indeterminata $0/0$ potevo usare gli asintotici; per questo ho chiesto l'asintotico di $arccosx$ e implicitamente se potevo usarlo in questo caso, senza ricorrere a De l'Hopital.

[ballo1]

mi correggo: ho sbagliato i calcoli con De l'Hopital e correggendo viene -infinito come mi conferma Grapher