Semplice funzione: iniettiva, suriettiva o entrambe?

[crew1]

Salve a tutti, vorrei porvi questo piccolo esercizio che mi è capitato nell'ultimo esame..

Nell'anello Z degli interi discutere iniettività e suriettività della funzione:

f: ZxZ --> Z, f(x,y) = 22x + 600y.

Vi sarei molto grato se mi aiutaste nella risoluzione!!

[Principe2]

la suriettività è evidentemente falsa in quanto i valori presi da f hanno tutti in comune il fattore 2.
Sembra che non sianeanche iniettiva. infatti se prendi w e z tali che x-z=600 e y-w= 22, allora f(x,y) =f(z,w)

ciao, ubermensch

[crew1]

Grazie!

Invece se fosse:

f(x,y) = 11x + 400y?

[Principe2]

sicuramente non è iniettiva per un ragionamento analogo al precedente è invece surjettiva in quanto 11 e 400 sono coprimi e quindi dall'identità di Bezout trovi x e y che danno 1 in quella combinazione lineare e da 1 puoi costruire tutti gli interi

ciao, ubermensch

[crew1]

Grazie!
Ricapitolando:

- f(x,y) = 22x + 600y NON è iniettiva, NON è suriettiva

- f(x,y) = 11x + 400y NON è iniettiva, è suriettiva

Cio' mi porta a pensare che l'unico modo per avere una funzione iniettiva è avere un k uguale sia
per x e y, cioè:

- f(x,y) = kx + ky

Puo' essere giusto?
E ancora, tale funzione non è suriettiva vero?

Un ultima cosa..
Non mi è molto chiaro il procedimento che "prende" w e z tali che x-z=600 e y-w=22 ==> f(x,y)=f(z,w).

Grazie di nuovo!!

[Principe2]

temo che dovrai aspettare lunedi... sto partendo

ciao

[crew1]

aiuto?

[Principe2]

basta porre f(x,y) = f(z,w). Si ha 22x - 600y = 22z - 600w che si scrive anche

22(x - z) = 600(w - z) che è soddisfatta non appena valgono le condizioni x - z = 600 e w - z = 22

Infatti in tal caso si ha f(x,y) = f(z,w) con (x,y)=! (z,w)

ok?