Semplice equazione esponenziale.

[elvismizzoni]

Ma non mi viene!
Qualcuno mi può dare una mano a risolvere la seguente?

5^(x^2-3x-1)-5^(x-4)=1

Anticipatamente ringrazio!

[gugo82]

"amelia":$ 5^(x^2-3x-1)-5^(x-4)=5^0$
Partiamo dall'equazione, il tuo metodo poteva funzionare solo se gli addendi fossero stati 2, purtroppo sono 3
isoliamo il più "antipatico" o più complicato $ 5^(x^2-3x-1)=5^(x-4)+1$, passo al logaritmo in base 5
$log_5 5^(x^2-3x-1)=log_5 (5^(x-4)+1)$
$x^2-3x-1=log_5 (5^(x-4)+1)$
Pongo ciascun termine uguale a y, ottengo $y=x^2-3x-1$ e $y=log_5 (5^(x-4)+1)$, rappresento graficamente le due funzioni, la prima è una banale parabola, mentre la seconda è una funzione logaritmica abbastanza semplice che puoi rappresentare dopo aver calcolato un paio di limiti e poco altro. Le soluzioni dell'equazione sono le ascisse dei punti di intersezione dei due grafici.

Secondo me è più semplice se si tengono le funzioni $f(x)=5^(x^2-3x-1)$ e $g(x)=1+5^(x-4)$: si vede subito che il punto d'intersezione è tra $3$ e $4$ (con una calcolatrice si riesce a stabilire subito che al posto di $4$ è possibile prendere pure $3,5=7/2$) e poi si fanno disegnare i grafici delle due funzioni da un buon programma numerico (Mathematica, MatLab, Derive, ...) oppure dall'ottimo plug-in del forum.

[Sk_Anonymous]

"Gugo82":
Secondo me è più semplice se si tengono le funzioni $f(x)=5^(x^2-3x-1)$ e $g(x)=1+5^(x-4)$: si vede subito che il punto d'intersezione è tra $3$ e $4$ (con una calcolatrice si riesce a stabilire subito che al posto di $4$ è possibile prendere pure $3,5=7/2$) e poi si fanno disegnare i grafici delle due funzioni da un buon programma numerico (Mathematica, MatLab, Derive, ...) oppure dall'ottimo plug-in del forum.

Sicuramente hai ragione, ma io, che disegno quasi esclusivamente a mano, avevo bisogno di una funzione "facile" come la parabola per averne almeno una con valori da calcolare anche a mente.
Prima o dopo imparerò anch'io ad usare dei metodi grafici più ...moderni...

[V3rgil]

Come diceva Gugo82 e come avevo pensato anche io inizialmente
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("5^(x^2-3x-1)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("1+5^(x-4)"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]

In rosso $5^(x^2-3x-1)$
In verde $1+5^(x+4)$

Ps. Su firefox si vedono delle linee aggiuntive... mentre nessun problema per IE

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

A questo punto mi scuso con bad.alex e anche con IvanTerr. Dovrei essere più umile sulle cose che a me paiono evidenti, perché in prima analisi assorbire i concetti è tutt'altro che facile.

Mi dispiace se la cosa è stata detta e ripetuta, ma dico la mia per chiarezza: in generale non è vero che $log(a+b)=log(a)+log(b)$. Di conseguenza non è vero che $log(5^(x^2-3x-1)-5^(x-4))=log(5^(x^2-3x-1))-log(5^(x-4))$.

[bad.alex]

"V3rgil":Come diceva Gugo82 e come avevo pensato anche io inizialmente
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("5^(x^2-3x-1)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("1+5^(x-4)"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]

In rosso $5^(x^2-3x-1)$
In verde $1+5^(x+4)$

Ps. Su firefox si vedono delle linee aggiuntive... mentre nessun problema per IE

grazie a tutti voi scusatemi ancora. alex

[V3rgil]

Figurati ;D

[elvismizzoni]

Grazie per la collaborazione e la disponibilità Bad.Alex, ma credo che tu debba approfondire un pochino l'argomento logaritmi.
Il tuo procedimento non funziona poichè il log non è un operatore lineare, o meglio log(a+b) non è log(a) + log(b).
Se poi la cosa ti è stata spiegata all'università resto, scusami ancora, un pochino perplesso.
Comunque ricontrolla il tutto e ci risentiamo.
Di nuovo grazie.