Semplice equazione complessa
salve, sto provando a risolvere la seguente equazione complessa: $z^4+z^2+1=0$, devo trovare le soluzioni complesse.
visto la potenza quarta non conviene usare la forma algebrica quindi provo con quella esponenziale:
$rho*e^(i4theta)+rho*e^(i2theta)+1=0 ->rho*e^(i2theta) (1+e^2)+1=0$
ma non capisco come si ricavano le soluzioni
spero in qualche suggerimento, grazie
visto la potenza quarta non conviene usare la forma algebrica quindi provo con quella esponenziale:
$rho*e^(i4theta)+rho*e^(i2theta)+1=0 ->rho*e^(i2theta) (1+e^2)+1=0$
ma non capisco come si ricavano le soluzioni
spero in qualche suggerimento, grazie
Risposte
umh non si potrebbe più semplicemente porre $z^2=w$ e svolgere $w^2+w+1=0$ che è di grado 2? inoltre, almeno a mio avviso, non serve tanto utilizzare la forma esponenziale in quel modo, quanto piuttosto trasformare $e^(i\theta)$ in $(cos\theta+isin\theta)$, ottenendo, indico $\rho$ con $r$: $r^4(cos4\theta+isin4\theta)+r^2(cos2\theta+isin2\theta)+1=0$, moltiplicare e separare eguagliando a zero parte reale e parte immaginaria etc etc.. spero di non aver sbagliato nulla..ma credo che ti imbatteresti in un procedimento laborioso per un'equazione che si potrebbe svolgere in modo, forse, più semplice.. io comunque ho provato questo procedimento più laborioso, e mi vien fuori che $r=1$ e $\theta=\pi/4+k\pi/2$, con $k=0,1,2,3$.. è possibile?
"ride":
umh non si potrebbe più semplicemente porre $z^2=w$ e svolgere $w^2+w+1=0$ che è di grado 2? inoltre, almeno a mio avviso, non serve tanto utilizzare la forma esponenziale in quel modo, quanto più tosto trasformare $e^(i\theta)$ in $(cos\theta+isin\theta)$, ottenendo: $r^4(cos4\theta+isin4\theta)+r^2(cos2\theta+isin2\theta)+1=0$, moltiplicare e separare eguagliando a zero parte reale e parte immaginaria etc etc.. spero di non aver sbagliato nulla..ma credo che ti imbatteresti in un procedimento laborioso per un'equazione che si potrebbe svolgere in modo, forse, più semplice..
ok grazie, ci provo
riesco ad isolare la parte reale e immaginaria, arrivo a questo passaggio:
$(r^4*cos(4theta)+r^2*cos(2theta)+1)+i(r^4*sin(4theta)+r^2*sin(2theta))=0$
ma da qui come faccio a ricavare le soluzioni?
grazie
$(r^4*cos(4theta)+r^2*cos(2theta)+1)+i(r^4*sin(4theta)+r^2*sin(2theta))=0$
ma da qui come faccio a ricavare le soluzioni?
grazie
Ciao.
$z^4+z^2+1=0$__$\rightarrow$__$(z^2+1/2)^2=-3/4$__$\rightarrow$__$z^2=-1/2\pm i(sqrt 3)/2$;__a questo punto conviene separare le due
possibilità e passare alla forma esponenziale ad ambo i membri: [size=120]$rho^2 e^(2i theta)=e^(2/3 i pi+2 k i pi)$[/size]__$vee$__[size=120]$rho^2 e^(2i theta)=e^(4/3 i pi+2 k i pi)$[/size].
$z^4+z^2+1=0$__$\rightarrow$__$(z^2+1/2)^2=-3/4$__$\rightarrow$__$z^2=-1/2\pm i(sqrt 3)/2$;__a questo punto conviene separare le due
possibilità e passare alla forma esponenziale ad ambo i membri: [size=120]$rho^2 e^(2i theta)=e^(2/3 i pi+2 k i pi)$[/size]__$vee$__[size=120]$rho^2 e^(2i theta)=e^(4/3 i pi+2 k i pi)$[/size].
"12Aquila":
riesco ad isolare la parte reale e immaginaria, arrivo a questo passaggio:
$(r^4*cos(4theta)+r^2*cos(2theta)+1)+i(r^4*sin(4theta)+r^2*sin(2theta))=0$
ma da qui come faccio a ricavare le soluzioni?
grazie
dalla parte immaginaria hai: $r^2(r^2sin(2*2\theta)+sin2\theta)=0$, da cui:
$r^2=0$, per cui $r=0$ che non è accettabile
$r^2sin(2*2\theta)+sin2\theta=0$, per cui $r^2 2sin(2\theta)cos(2\theta)+sin2\theta=0$, da cui $r^2 2cos2\theta=-1$, cioè $r^2cos2\theta=-1/2$
dalla parte reale hai $r^4cos4\theta+r^2cos2\theta+1=0$
ora, sperando che non ho sbagliato calcoli, bisognerebbe sostituire, ricavare $r$ e $\theta$ e da qui ricavare le soluzioni, che dovrebbero essere 4. ma ti ripeto lo vedo un pò troppo calcolotico come metodo per quell'equazione, anche perchè così posto non porta da nessuna parte, forse ho sbagliato qualche conto.
"Palliit":
Ciao.
$z^4+z^2+1=0$__$\rightarrow$__$(z^2+1/2)^2=-3/4$__$\rightarrow$__$z^2=-1/2\pm i(sqrt 3)/2$;__a questo punto conviene separare le due
possibilità e passare alla forma esponenziale ad ambo i membri: [size=120]$rho^2 e^(2i theta)=e^(2/3 i pi+2 k i pi)$[/size]__$vee$__[size=120]$rho^2 e^(2i theta)=e^(4/3 i pi+2 k i pi)$[/size].
questa tua soluzione è la stessa che si ricava, come ho già detto prima, ponendo $z^2=w$, dall'equazione $w^2+w+1=0$
grazie per le risposte, oggi ho l'esame, in caso mi esce qualcosa del genere almeno ora ho un'idea di come fare.
"ride":
questa tua soluzione è la stessa che si ricava, come ho già detto prima, ponendo $z^2=w$, dall'equazione $w^2+w+1=0$
Indubbiamente, il mio intervento non era mirato a dare un modo diverso di risoluzione della biquadratica, piuttosto a proporre la forma esponenziale come un'alternativa, più snella e immediata - a mio avviso - di quella trigonometrica, per la prosecuzione e la conclusione.
@Aquila12: in bocca al lupo, facci sapere com'è andata!
"Palliit":
[quote="ride"]questa tua soluzione è la stessa che si ricava, come ho già detto prima, ponendo $z^2=w$, dall'equazione $w^2+w+1=0$
Indubbiamente, il mio intervento non era mirato a dare un modo diverso di risoluzione della biquadratica, piuttosto a proporre la forma esponenziale come un'alternativa, più snella e immediata - a mio avviso - di quella trigonometrica, per la prosecuzione e la conclusione.
[/quote]
la mia era solo una constatazione!!
"12Aquila":
grazie per le risposte, oggi ho l'esame, in caso mi esce qualcosa del genere almeno ora ho un'idea di come fare.
in bocca al lupooo!!
"Palliit":
@Aquila12: in bocca al lupo, facci sapere com'è andata!
male
ho sbagliato diverse cose, provo a rimediare e presentarmi al prossimo appello.
c'era anche una equazione complessa che ho sbagliato perchè invece di usare la forma esponenziale ho usato quella algebrica.
@Aquila12: mi dispiace...
"Palliit":
@Aquila12: mi dispiace...
grazie per la solidarietà, ed anche per tutte le volte che mi hai aiutato
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo