Semplice dubbio sulla differenziabilità
ciao raga!
se $f(x,y): RR^2rarrRR$ è continua in $P_0$ , le sue derivate parziali non sono definite in $P_0$, ma il gradiente calcolato con il limite del rapporto incrementale esiste, cosa devo fare? mi dice qalcosa il fatto che esista finito il limite per$P$ che tende a $P_0$ delle derivate parziali? oppure verifico direttamente che
$lim_(P->P_0)(f(P)-f(P_0)-\nablaf(P_0)(P-P_0))/||p-p_0||$ $=0$ ?
in particolare vorrei sapere due cose:
è possibile che f sia differenziabile anche se il limite delle derivate parziali per $P$ che tende a $P_0$ è infinito? e se invece è finito, posso dire che è differenziabile?
grazie a tutti per l'attenzione e per le eventuali risposte
se $f(x,y): RR^2rarrRR$ è continua in $P_0$ , le sue derivate parziali non sono definite in $P_0$, ma il gradiente calcolato con il limite del rapporto incrementale esiste, cosa devo fare? mi dice qalcosa il fatto che esista finito il limite per$P$ che tende a $P_0$ delle derivate parziali? oppure verifico direttamente che
$lim_(P->P_0)(f(P)-f(P_0)-\nablaf(P_0)(P-P_0))/||p-p_0||$ $=0$ ?
in particolare vorrei sapere due cose:
è possibile che f sia differenziabile anche se il limite delle derivate parziali per $P$ che tende a $P_0$ è infinito? e se invece è finito, posso dire che è differenziabile?
grazie a tutti per l'attenzione e per le eventuali risposte
Risposte
"Crasti":
se $f(x,y): RR^2rarrRR$ è continua in $P_0$ , le sue derivate parziali non sono definite in $P_0$, ma il gradiente calcolato con il limite del rapporto incrementale esiste...
Temo di non aver capito...
non sono stato molto chiaro...
voglio trovare il gradiente in $P_0$, decido di fare le derivate parziali e di sostituire le coordinate $P_0$, ma esse non esistono in $P_0$, per esempio mettiamo che le derivate parziali siano del tipo $(x^4+y^3)/(x^2+y^2)$(è un esempio casuale)
allora esse non sono definite in $P(0,0)$
se però trovo il gradiente secondo la definizione, ossia
$lim_(h->0)(f(p_0+e_j)-f(P_0))/h$
trovo due componenti finite per il vettore gradiente.
cosa devo fare?
voglio trovare il gradiente in $P_0$, decido di fare le derivate parziali e di sostituire le coordinate $P_0$, ma esse non esistono in $P_0$, per esempio mettiamo che le derivate parziali siano del tipo $(x^4+y^3)/(x^2+y^2)$(è un esempio casuale)
allora esse non sono definite in $P(0,0)$
se però trovo il gradiente secondo la definizione, ossia
$lim_(h->0)(f(p_0+e_j)-f(P_0))/h$
trovo due componenti finite per il vettore gradiente.
cosa devo fare?
Ovviamente vale la definizione.
L'esistenza del limite delle derivate parziali è solo una condizione sufficiente per l'esistenza delle medesime nel punto.
L'esistenza del limite delle derivate parziali è solo una condizione sufficiente per l'esistenza delle medesime nel punto.
grazie mille! ora è tutto più chiaro 
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