Semplice dubbio su dominio forma differenziale

[MaledettaAnalisiXD]

ho un dubbio dove non dovrei

$(2xy+y^2+1/x)dx+(x^2+2xy+1/y)dy$

il dominio di questa forma differenziale è semplicemente tutto $RR ^2 : x!=0, y!=0$?
quindi tutto il piano x, y tranne gli assi??

grazie

[MasterCud]

immagino che il tuo obbiettivo sia quello di stabilire dove questa forma differenziale sia esatta giusto?? bè ti sei risposto da solo allora

[MaledettaAnalisiXD]

a dirla tutta sarebbero 2 punti distinti di un esercizio:

1) determinare il suo insieme di definizione e disegnarlo nel piano
2)nel dominio $x>0, y>0$ stabilire se la forma differenziale è esatta

finche non stabilisco un sottodominio semplicemente connesso (come nel punto 2) non posso dire che è esatta (avendo gia verificato la condizione necessaria sulle derivate parziali)

[MasterCud]

allora il punto 1 mi sembra che lo abbia già svolto....x e y devono essere diversi da zero giusto?? bene per il punto 2 utilizza il criterio sufficiente....ovvero verifica che w sia chiusa(condizione necessaria) e in questo caso ad occhio mi sembra che lo sia, dopo di che D con x>0 e y>0 è un dominio semplice è connesso, direi di si non ci sono buchi, le derivate sono definite... i 2 punti sono praticamente uno la conseguenza dell'altro....se poi vuoi eccedere sfrutta una delle proprietà delle forme differenziali esatte, ti prendi una circonferenza con raggio arbitrario e verifichi che l'integrale curvilineo sia uguale a zero (ovviamente non è vero il viceversa).

[MaledettaAnalisiXD]

ok grazie su punto 2 non ho dubbi avevo un dubbio sul fatto che ci potessero essere altre restrizioni per il dominio.
grazie