Semplice disequazione numeri complessi

[Armstrong]

Buon pomeriggio,nel completare una parte di un esercizio devo risolvere

$ 1) |bar(z)-i|-2<=0$

$ 2) |z-1|/|1+i|>=Re(z-1)$

Prima di tutto riguardo $1)$ ho copiato una possibile soluzione,ma non l'ho capita (dato il primo approccio ai numeri complessi)
Viene considerato $|bar(z)-i|=|z+i|$
e poi le soluzioni sono rappresentata dalla parte interna di una circonferenza di raggio 2 sul piano di Gauss.

[bosmer-votailprof]

Allora non c'è nulla di complicato, $z=x+iy$ dove puoi interpretare $(x,y)$ come le coordinate nel piano di Gauss ( che alla fine è il piano cartesiano per quel che interessa a te) quindi ti stai chiedendo per quali punti del piano è vera quella relazione, allora per come è definito $z$ abbiamo che $\bar z -i=x-(1+y)i$ ora per come è definito il modulo di un numero complesso abbiamo che $|\bar z-i|=\sqrt{x^2+(1+y)^2}$ quindi la prima disequazione diventa :
$$
\sqrt{x^2+(1+y)^2}\leq 2
$$
elevando al quadrato diventa
$$
x^2+(1+y)^2\leq 4
$$
e questo è l'interno di una circonferenza di raggio $2$ centrata in $(0,-1)$ , se non ci credi prova a ripassare l'equazione della circonferenza

Per la seconda stesso discorso sostituisci $z=x+iy$ e calcoli i vari moduli e le parti reali ottenendo che la disequazione diventa:
$$
\frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{2}}\geq (x-1)
$$
moltiplicando per il denominatore otteniamo:
$$
\sqrt{(x-1)^2+y^2}\geq \sqrt{2}(x-1)
$$
Adesso dobbiamo solo studiare la disequazione irrazionale, dove abbiamo come prima soluzione $x\leq 1$ poi studiamo il caso con $x>1$ dove possiamo elevare tutto al quadrato e con le dovute eliminazioni otteneniamo:
$$
y^2\geq (x-1)^2
$$
E qui otteniamo subito che $y\geq x-1$ e $y\leq -(x-1)$ ed abbiamo finito la soluzione è:
$$
x<1 \vee \left( x>1 \wedge y\geq x-1 \right) \vee \left( x>1 \wedge y\leq -x+1 \right)
$$
Che sarebbe tutto il semipiano a sinistra di $x=1$ (compreso) unito al semipiano superiore alla retta $x-1$ ed unito al semipiano inferiore alla retta $-x+1$

[Armstrong]

"Bossmer":Allora non c'è nulla di complicato, $z=x+iy$ dove puoi interpretare $(x,y)$ come le coordinate nel piano di Gauss ( che alla fine è il piano cartesiano per quel che interessa a te) quindi ti stai chiedendo per quali punti del piano è vera quella relazione, allora per come è definito $z$ abbiamo che $\bar z -i=x-(1+y)i$ ora per come è definito il modulo di un numero complesso abbiamo che $|\bar z-i|=\sqrt{x^2+(1+y)^2}$ quindi la prima disequazione diventa :
$$
\sqrt{x^2+(1+y)^2}\leq 2
$$
elevando al quadrato diventa
$$
x^2+(1+y)^2\leq 4
$$
e questo è l'interno di una circonferenza di raggio $2$ centrata in $(0,-1)$ , se non ci credi prova a ripassare l'equazione della circonferenza

Per la seconda stesso discorso sostituisci $z=x+iy$ e calcoli i vari moduli e le parti reali ottenendo che la disequazione diventa:
$$
\frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{2}}\geq (x-1)
$$
moltiplicando per il denominatore otteniamo:
$$
\sqrt{(x-1)^2+y^2}\geq \sqrt{2}(x-1)
$$
Adesso dobbiamo solo studiare la disequazione irrazionale, dove abbiamo come prima soluzione $x\leq 1$ poi studiamo il caso con $x>1$ dove possiamo elevare tutto al quadrato e con le dovute eliminazioni otteneniamo:
$$
y^2\geq (x-1)^2
$$
E qui otteniamo subito che $y\geq x-1$ e $y\leq -(x-1)$ ed abbiamo finito la soluzione è:
$$
x<1 \vee \left( x>1 \wedge y\geq x-1 \right) \vee \left( x>1 \wedge y\leq -x+1 \right)
$$
Che sarebbe tutto il semipiano a sinistra di $x=1$ (compreso) unito al semipiano superiore alla retta $x-1$ ed unito al semipiano inferiore alla retta $-x+1$

Ma quindi nel secondo es,che sono presenti due coefficienti letterali x,y lo considero tipo come una funzione con variabile indipendente x? (non so se mi sono spiegato )

E perchè x=1 compreso nella soluzione?

[bosmer-votailprof]

Si e no, perché comunque hai $y^2$ quindi questa non è UNA funzione, possiamo al massimo vederla come DUE funzioni...

$x=1$ perché c'è il maggiore uguale... se ci fosse stato solo il maggiore senza l'uguale la retta $x=1$ non sarebbe stata compresa...

[Armstrong]

"Bossmer":Si e no, perché comunque hai $y^2$ quindi questa non è UNA funzione, possiamo al massimo vederla come DUE funzioni...

$x=1$ perché c'è il maggiore uguale... se ci fosse stato solo il maggiore senza l'uguale la retta $x=1$ non sarebbe stata compresa...

Grazie