Sempiano di R2 aperto

[Gian741]

buona sera a tutti

scusate la banalità ma non riesco a dimostrare che il semipiano :

$ X = {(x,y) in (RR)^(2) : x > 1 } $ è aperto

io parto dalla definizione di intorno di un punto per vedere che ogni intorno sia interno al semipiano

$ Br(x0) = {x in (RR)^(n) : ||x-x0|| <= r } $

sostituisco e ottengo $ ||1-x0|| <= r $

da qui se faccio il calcolo della distanza tra i due punti $ 1-x0 $ mi va sotto radice quadrata...
il libro mi dice che è aperto perchè ogni intorno di raggio $ r <= x0-1 $ è contenuto in X

ho bisogno di una dritta

grazie

[Luca.Lussardi]

Se $(x_0,y_0) \in X$ prova a prendere $r=(x_0-1)/2$ e considerare $B_r(x_0,y_0)$.

[Gian741]

buongiorno Luca

grazie per l'aiuto, ma sono ancora in alto mare...

perchè dovrei prendere $r=(x_0-1)/2$ ?

grazie
Gianluca

[Gian741]

incagliato in alto mare...

quello che non mi è chiaro se la soluzione si trova studiando graficamente la funzione oppure analiticamente partendo dalla definizione...

mamma che confusione

Gianluca

[dissonance]

Quella $r$ è la distanza di $(x_0, y_0)$ dal bordo del semipiano divisa per $2$. Potevi anche dividerla per $3$, o per $4$, o per $25$... Basta che sia un pochetto più piccola. Così il cerchio di centro $(x_0, y_0)$ e raggio $r$ entra tutto nel semipiano.