Semi-algebre, algebre e sigma-algebre

[salemgold]

Ciao a tutti! Mi sto imbattendo in un sacco di definizioni ma vorrei un controesempio semplice da tenere a mente nel caso qualcuno mi ponesse la domanda "Qual è un esempio di algebra che non è una sigma algebra?".
Analogamente mi sapreste dire o indicare dove reperire altri controesempi del tipo:
- una semi algebra che non è un'algebra
(tra i miei appunti ho qualcosa del tipo [tex]I=\{(a,b]: -\infty \leq a < b < +\infty\} U \{(c,+\infty): -\infty \leq c \leq+\infty\} U \{0\} U \{R\}[/tex] , dove con 0 intendo l'insieme vuoto)
- una classe monotona che non è una sigma algebra
è giusto ad esempio [tex]M=\{ [0,1-1/n] , n \in N\}[/tex] ?
- una classe monotona che non è un'algebra

Spero mi possiate aiutare, a me piace studiare e avere tutte le NON implicazioni chiare con un controesempio

[dissonance]

Eh, purtroppo in questo ambito le definizioni sono totalmente arbitrarie, cambiano da autore ad autore. Dovresti specificare ad esempio cosa intendi per "semi algebra". Comunque ti passo un link: https://www.matematicamente.it/forum/una ... 39265.html
(lascia stare il mio primo post che è un gran caos).

[holmes1]

.....mi pare di ricordare che un esempio di algebra che non è una sigma algebra sono i misurabili secondo peano jordan (aspetto conferma però)
mi pare che il tuo esempio sulla classe monotona sia corretto, e dovrebbe valere anche per le algebre no?(per via dei complementari).......però mi aggrego a Dissonance.......manda le definizioni!



saluti!

[salemgold]

"salemgold":Ciao a tutti! Mi sto imbattendo in un sacco di definizioni ma vorrei un controesempio semplice da tenere a mente nel caso qualcuno mi ponesse la domanda "Qual è un esempio di algebra che non è una sigma algebra?".
Analogamente mi sapreste dire o indicare dove reperire altri controesempi del tipo:
- una semi algebra che non è un'algebra
(tra i miei appunti ho qualcosa del tipo [tex]I=\{(a,b]: -\infty \leq a < b < +\infty\} U \{(c,+\infty): -\infty \leq c \leq+\infty\} U \{0\} U \{R\}[/tex] , dove con 0 intendo l'insieme vuoto)
- una classe monotona che non è una sigma algebra
è giusto ad esempio [tex]M=\{ [0,1-1/n] , n \in N\}[/tex] ?
- una classe monotona che non è un'algebra

Spero mi possiate aiutare, a me piace studiare e avere tutte le NON implicazioni chiare con un controesempio

Allora:
SEMIALGEBRA $S \subset P(X)$:
1) $X \in S$
2) $A, B \in X \Rightarrow A \cap B \in X$
3) $A \in X \Rightarrow A^{C}= \bigcup A_{i}, A_{i}\in S$ dove l'unione è di elementi disgiunti

ALGEBRA $F \subset P(X)$:
1) $X \in F$
2) $A, B \in X \Rightarrow A \cup B \in X$
3) $A \in X \Rightarrow A^{C} \in X$

CLASSE MONOTONA $M$:
$A_{i} \in M, A_{i}\subset A_{i+1} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \in M$
$A_{i} \in M, A_{i+1}\subset A_{i} \Rightarrow \bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i} \in M$

scusate il ritardo, siamo in sessione

[salemgold]

Dai! inviate qualche bel controesempio