Sembra facile...ma attenzione

[Piera4]

con log x indico il logaritmo in base a di x.
per quali valori di a risulta
log x < x qualunque sia x >0 ?

[Nidhogg]

Credo sia qualunque $a>0$ e $a!=1$

[MaMo2]

Io direi per a > 1.

[fireball1]

Sì, sono d'accordo con MaMo.

[Nidhogg]

"MaMo":Io direi per a > 1.

Alla fine come ho scritto io è la stessa cosa, visto che a è naturale! Quindi è $a>1$.

[fireball1]

Come, a è naturale?!?

[Nidhogg]

"fireball":Come, a è naturale?!?

Allora, se a non è naturale ho scritto bene. Se a è naturale ho scritto comunque bene!

[fireball1]

Non ho capito cosa c'entra il fatto che
a sia naturale o no...
a non è un numero reale?

[Nidhogg]

"fireball":Non ho capito cosa c'entra il fatto che
a sia naturale o no...
a non è un numero reale?

Allora partiamo da zero! Se a è un numero reale allora per ogni $a>0$ con $a!=1$ la relazione $log_a x

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[Piera4]

a è un numero reale,
tuttavia siamo ben lontani dalla soluzione...

[fireball1]

"leonardo":

Allora partiamo da zero! Se a è un numero reale allora per ogni $a>0$ con $a!=1$ la relazione $log_a x

Io la relazione $a>0$ e $a!=1$ la interpreto così: $01$
e per $0

Cita

Segnala

[Piera4]

forse potrà risultare strano, ma il risultato è
a > e^(1/e)
perchè?

[fireball1]

Forse nel caso $0 $log_a x < x$ sono quelli maggiori di $root(e)e$...
Ma nel caso $a>1$ la diseguaglianza vale $AAx>0$.

[Piera4]

no, non è vero...

[Nidhogg]

In questo grafico è rappresentata la disuguaglianza con a che varia nell'intervallo $[e^(1/e),+oo)$. La retta è $y=e^(1/e)$. Diciamo che vedendo questo grafico mi sono quasi convinto che a deve essere maggiore di $e^(1/e)$. Ma non riesco ancora a capire come mai, anche se sicuramente si tratta di una banalità (almeno spero!).

[fireball1]

"Piera":no, non è vero...

Mah... Allora illuminatemi voi... Ci rinuncio.
L'ultima cosa che mi viene in mente è quella
di tenere in considerazione la stretta monotonia (decrescente)
del logaritmo con base 0 < a < 1 ...

[Piera4]

per ora aspetto a dare la soluzione

sinceramente, io non ho provato a risolvere l'esercizio perchè l'ho trovato già svolto su un libro,
però posso dire che la soluzione non è tanto difficile (si provi a studiare il grafico della funzione
f(x)=log x - x al variare di a...)

[Kroldar]

Deriviamo la funzione logaritmo in base a di x meno x e troviamoci l'ascissa del suo punto di massimo e successivamente, sostituendo il valore nella funzione di partenza, troviamo il valore dell'unico massimo relativo, ovviamente al variare di a. Siccome dopo il massimo la funzione inizia a decrescere sempre, il valore del massimo relativo è anche il valore massimo assunto dalla funzione per qualsiasi x positivo. Ponendo l'espressione del massimo della funzione al variare di a minore di zero, troviamo la relazione $ a > e^(1/e) $ che è la soluzione del problema

[Piera4]

complimenti Kroldar!!
visto che ormai l'ho scritta, riporto la seguente soluzione che in pratica è quella di Kroldar:
Per comodità, scriviamo log x = ln x / ln a (ho usato la formula del cambiamento di base,
ln è il logaritmo naturale)
La disuguaglianza ln x / ln a < x ,sarà verificata per ogni x positivo se
f(x) = ln x / ln a – x < 0 per ogni x positivo

se 0 < a < 1, quindi ln a < 0
lim f(x) = +infinito
x->0+
ne segue che la disuguaglianza non vale per ogni x positivo

se a > 1 ( ln a >0), dallo studio della derivata prima segue che x = 1/ ln a
è punto di massimo per f(x), inoltre
lim f(x) = -infinito
x->0+

lim f(x) = -infinito
x->+inf

da questo segue che per x = 1/ ln a si ha un massimo assoluto per f(x).

f(x) = ln x / ln a – x < 0 per ogni x positivo, cioè la funzione è sempre negativa
quando il suo massimo assoluto è sotto l’asse x :
f(1 / ln a) < 0, ovvero
ln(1 / ln a) / ln a – 1/ ln a < 0
moltiplicando per ln a che è > 0 si ha
- ln (ln a) – 1 < 0
ln (ln a) > -1
…
a > e^(1/e)