Sembra facile
Salve a tutti utenti di questo ottimo forum e sito web, ho un problema riguardante un equazione di secondo grado (non mi chiamate scemo). Adesso vi spiego i dettagli:
Ieri ero nella biblioteca della mia università e stavo studiando, quando un ragazzo di ingegneria aerospaziale cerca di risolvere un esercizio di matematica. Io, appassionato della matematica, mi interesso, e inizio a guardare il suo quaderno; appena vedo l'esercizio penso tra me e me "Questo sarà scemo...che ci vuole a risolvere un equazione di secondo grado?!"
Lui si accorge del mio interesse e mi fa "scusa ma sai come si risolve?!" io faccio "mo provo"...
Allora l'equazione in questione è:
x^2(al quadrato) + 10^16x -1
svolgo come tutti sappiamo fare e trovo il delta (senza che ci scrivo la formula viene) 10^32 + 4 che è una quantita sicuramente >0, allora ammette soluzioni.
Bene fino qui ci siamo...
allora applico la formula risolutiva:
-10^16+/- (radice di 10^32 + 4)/2
visto che 10^32 è una quantita talmente grande rispetto al 4, che quest'ultimo è trascurabile come numero, infatti anche se lo svolgessimo con la calcolatrice ci direbbe la stessa cosa. Arrivato a questo punto continuo:
-10^16 +/- 10^16/2 perchè la radice di 10^32 è 10^16 bene...
a questo punto svolgendo i calcoli viene...
x(1) = -10^16 - 10^16/2 = -10^16
x(2) = -10^16 + 10^16/2 = 0
quindi le due radici reali sono x(1) e x(2)
Io faccio vedere al ragazzo le soluzioni e lui mi dice "No, guarda che queste due soluzioni non annullano l'equazione" e io "cosa?!"
faccio la prova, e effettivamente mettendo una volta x(1) e una volta x(2) nell'equazione non si annulla mai, infatti in entrambi i casi rimane -1=0
io faccio "come è possibile?!" e lui mi fa "eh boh...me l'ha data il mio professore di analisi"
Torno a casa e riprovando mi rendo conto che anche se metto al posto di 10^16 solo 10 (cioè x^2 + 10x - 1) comunque si ritorna al problema di partenza.
La mia domanda ora è questa, come io che frequento la facoltà di ingegneria e riesco a risolvere cose ben + difficili, mi sto scervellando per risolvere una comune Eq. di secondo grado?
Mi appello alle vostre conoscenze e ai vostri metodi di soluzioni di questo enigma...
Grazie
NB
scusate se ho fatto tutte quelle precisazioni, l'ho fatto semplicemente per rendere la cosa +chiara possibile, non era per offendere nessuno...
Ieri ero nella biblioteca della mia università e stavo studiando, quando un ragazzo di ingegneria aerospaziale cerca di risolvere un esercizio di matematica. Io, appassionato della matematica, mi interesso, e inizio a guardare il suo quaderno; appena vedo l'esercizio penso tra me e me "Questo sarà scemo...che ci vuole a risolvere un equazione di secondo grado?!"
Lui si accorge del mio interesse e mi fa "scusa ma sai come si risolve?!" io faccio "mo provo"...
Allora l'equazione in questione è:
x^2(al quadrato) + 10^16x -1
svolgo come tutti sappiamo fare e trovo il delta (senza che ci scrivo la formula viene) 10^32 + 4 che è una quantita sicuramente >0, allora ammette soluzioni.
Bene fino qui ci siamo...
allora applico la formula risolutiva:
-10^16+/- (radice di 10^32 + 4)/2
visto che 10^32 è una quantita talmente grande rispetto al 4, che quest'ultimo è trascurabile come numero, infatti anche se lo svolgessimo con la calcolatrice ci direbbe la stessa cosa. Arrivato a questo punto continuo:
-10^16 +/- 10^16/2 perchè la radice di 10^32 è 10^16 bene...
a questo punto svolgendo i calcoli viene...
x(1) = -10^16 - 10^16/2 = -10^16
x(2) = -10^16 + 10^16/2 = 0
quindi le due radici reali sono x(1) e x(2)
Io faccio vedere al ragazzo le soluzioni e lui mi dice "No, guarda che queste due soluzioni non annullano l'equazione" e io "cosa?!"
faccio la prova, e effettivamente mettendo una volta x(1) e una volta x(2) nell'equazione non si annulla mai, infatti in entrambi i casi rimane -1=0
io faccio "come è possibile?!" e lui mi fa "eh boh...me l'ha data il mio professore di analisi"
Torno a casa e riprovando mi rendo conto che anche se metto al posto di 10^16 solo 10 (cioè x^2 + 10x - 1) comunque si ritorna al problema di partenza.
La mia domanda ora è questa, come io che frequento la facoltà di ingegneria e riesco a risolvere cose ben + difficili, mi sto scervellando per risolvere una comune Eq. di secondo grado?
Mi appello alle vostre conoscenze e ai vostri metodi di soluzioni di questo enigma...
Grazie
NB
scusate se ho fatto tutte quelle precisazioni, l'ho fatto semplicemente per rendere la cosa +chiara possibile, non era per offendere nessuno...
Risposte
Se $4$ è trascurabile rispetto a $10^32$, significa che tu hai considerato come equazione $x^2 + 10^16 x = 0$ (se hai tolto il $4$, hai considerato il termine noto uguale a zero, perché trascurabile rispetto agli altri), e le soluzioni di questa sono proprio $0$ e $-10^16$.
Allora il discorso è questo è come addizzionare 100000000000000 + 4 è normale che 4 è trascurabile rispetto a 100000000000 per questo!
Anche se provi a farlo con la calcolatrice ti viene sempre 10^32...e poi anche se lo tieni il 4, comunque non cambierebbe niente...ho provato anche tenendo il 4.
E comunque non viene...
Anche se provi a farlo con la calcolatrice ti viene sempre 10^32...e poi anche se lo tieni il 4, comunque non cambierebbe niente...ho provato anche tenendo il 4.
E comunque non viene...
$x^2-10^16x-1=0$
$x_1=(-10^16+sqrt(10^32+4))/2$
$x_2=(-10^16-sqrt(10^32+4))/2$
Sostituisco $x_1$ nell'equazione:
$[(-10^16+sqrt(10^32+4))/2]^2+10^16((-10^16+sqrt(10^32+4))/2)-1=$
$=[10^32+10^32-2*10^16sqrt(10^32+4)]/4+[10^32+10^16sqrt(10^32+4)]/2-1=$
$=[2*10^32+4-2*10^16sqrt(10^32+4)+2*10^32+2*10^16sqrt(10^32+4)-4]/4=0$
se approssimi è normale che nn sia una radice altrimenti è proprio una soluzione
$x_1=(-10^16+sqrt(10^32+4))/2$
$x_2=(-10^16-sqrt(10^32+4))/2$
Sostituisco $x_1$ nell'equazione:
$[(-10^16+sqrt(10^32+4))/2]^2+10^16((-10^16+sqrt(10^32+4))/2)-1=$
$=[10^32+10^32-2*10^16sqrt(10^32+4)]/4+[10^32+10^16sqrt(10^32+4)]/2-1=$
$=[2*10^32+4-2*10^16sqrt(10^32+4)+2*10^32+2*10^16sqrt(10^32+4)-4]/4=0$
se approssimi è normale che nn sia una radice altrimenti è proprio una soluzione
Io direi questo: se nel calcolo della radice approssimi $10^32+4$ con $10^32$ non ottieni i valori esatti
per le radici $x_1$ e $x_2$ ma dei valori approssimati. Approssimati di quanto ? Beh
$\sqrt{10^32+4}=10^{16}\sqrt{1+4\times 10^{-32}}\approx 10^{16}(1+2 \times 10^{-32})=10^16+2 \times 10^{-16}$
Quindi le radici che hai trovato approssimando sono $x_{12}+\delta$ con $\delta\approx 10^{-16}$,
In effetti $\delta$ è MOLTO piccolo. PERO' se sostituisci i valoro approssimati nell'equazione trovi
$(x_{12}+delta)^2+10^16(x_{12}+\delta)-1=$
$x_{12}^2+2\delta x_{12}+\delta^2+10^16x_{12}+10^{16}\delta-1=$ (dato che $x_{12}$ sono soluzioni)
$2 x_{12}\delta+\delta^2+10^{16}\delta\approx 2x_{12}10^{-16}+10^{-32}+1\approx 1$ (almeno nel caso della radice piccola).
Il fatto è che lo scarto, pur piccolo, viene moltiplicato per un fattore moltro grande!!!
non tutti i passaggi sono rigorsi ma l'idea dovrebbe essere giusta.
per le radici $x_1$ e $x_2$ ma dei valori approssimati. Approssimati di quanto ? Beh
$\sqrt{10^32+4}=10^{16}\sqrt{1+4\times 10^{-32}}\approx 10^{16}(1+2 \times 10^{-32})=10^16+2 \times 10^{-16}$
Quindi le radici che hai trovato approssimando sono $x_{12}+\delta$ con $\delta\approx 10^{-16}$,
In effetti $\delta$ è MOLTO piccolo. PERO' se sostituisci i valoro approssimati nell'equazione trovi
$(x_{12}+delta)^2+10^16(x_{12}+\delta)-1=$
$x_{12}^2+2\delta x_{12}+\delta^2+10^16x_{12}+10^{16}\delta-1=$ (dato che $x_{12}$ sono soluzioni)
$2 x_{12}\delta+\delta^2+10^{16}\delta\approx 2x_{12}10^{-16}+10^{-32}+1\approx 1$ (almeno nel caso della radice piccola).
Il fatto è che lo scarto, pur piccolo, viene moltiplicato per un fattore moltro grande!!!
non tutti i passaggi sono rigorsi ma l'idea dovrebbe essere giusta.
uhm...vi rigrazio per l'intervento e per la risposta scritta in maniera kosì kiara...
ora però mi sorge un altro dubbio...
è l'uniko modo per trovare le soluzioni?...
nel senso per trattare equazioni con coefficienti dati da 10^n si deve sempre incappare in questo calcolo lungo e faticoso?
ora però mi sorge un altro dubbio...
è l'uniko modo per trovare le soluzioni?...
nel senso per trattare equazioni con coefficienti dati da 10^n si deve sempre incappare in questo calcolo lungo e faticoso?
Kosì=così
Kiara=chiara
uniko=unico
3.5 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Non sono consenti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
(Estratto dal regolamento)
Kiara=chiara
uniko=unico
3.5 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Non sono consenti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
(Estratto dal regolamento)
scusate....
Nessun problema. Sappiamo bene che uno magari è abituato a scrivere in un certo modo con MSN o SMS o altro simile, per questo ogni tanto lo precisiamo.
Ciao
Ciao
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