Segno $f(x)$_ Ricerca Massimi_ Minimi relativi.
Salve;
vi chiedo un aiuto su un quesito semplicissimo.
sia $ f(x) = (2x)/(x^2-4)$ la soluzione di $f(x)>0$ dai miei calcoli è $x<-2 V x>2$
mentre nel testo è $f(x)>0$ per $ x in ]-2,02,+infty[ $
lo non capisco da dove spunta l'intervallo con $-2, 0$
vi chiedo un aiuto su un quesito semplicissimo.
sia $ f(x) = (2x)/(x^2-4)$ la soluzione di $f(x)>0$ dai miei calcoli è $x<-2 V x>2$
mentre nel testo è $f(x)>0$ per $ x in ]-2,02,+infty[ $
lo non capisco da dove spunta l'intervallo con $-2, 0$
Risposte
"mat100":
Salve;
vi chiedo un aiuto su un quesito semplicissimo.
sia $ f(x) = (2x)/(x^2-4)$ la soluzione di $f(x)>0$ dai miei calcoli è $x<-2 V x>2$
mentre nel testo è $f(x)>0$ per $ x in ]-2,02,+infty[ $
lo non capisco da dove spunta l'intervallo con $-2, 0$
Si tratta di risolvere una disequazione fratta. Cosa non ti è chiaro?
PS: La soluzione che dai tu è sbagliata. Per $x = -3$, ad esempio, la funzione è negativa.
forse hai dimenticato di considerare il numeratore
"Seneca":
[quote="mat100"]Salve;
vi chiedo un aiuto su un quesito semplicissimo.
sia $ f(x) = (2x)/(x^2-4)$ la soluzione di $f(x)>0$ dai miei calcoli è $x<-2 V x>2$
mentre nel testo è $f(x)>0$ per $ x in ]-2,02,+infty[ $
lo non capisco da dove spunta l'intervallo con $-2, 0$
Si tratta di risolvere una disequazione fratta. Cosa non ti è chiaro?
PS: La soluzione che dai tu è sbagliata. Per $x = -3$, ad esempio, la funzione è negativa.[/quote]
veeero $2x$ è maggiore di zero ovviamente da $[0,+infty[ $ con zero escluso .
Per non aprire un altro topic;
Volevo chiedere un chiarimento sul metodo di ricerca degli eventuali punti di minimo e di massimo relativo,e anche sul segno della derivata ai fini di trovare questi punti.
In particolare:
$f(x)=log|x^2-4|$ cui $f^{\prime}(x)= ( 2x)/(x^2-4)$
Vediamo dove la derivata si annulla;
i punti $x=-2$,$x=2$ possono trarre in inganno,questi due punti annullano la derivata ma non permettono la condizione $f^{\prime}(x)=0$ per essere eventuali punti di Massimo o minimo.
ad occhio quindi resta solo 0 ; e per $x=0$ si ha $f(0)= log4$ :
La funzione ammette un punto di Massimo relativo in $x=0$ mentre non ha punti di miimo relativo.
tutto questo perchè ??
sebbene ho studiato dal testo la seguente teoria...
nel testo , indica il metodo della derivata prima per classificare i punti critici.
affermando che se $f^{\prime}(x)=$a $<=0 $con $ x_0=0 $ con$x_0-delta
non ho capito cosa significa tutto ciò analiticamente?
potreste aiutarmi perfavore?
magari utilizzando la funzione sopracitata...
grazie.
Volevo chiedere un chiarimento sul metodo di ricerca degli eventuali punti di minimo e di massimo relativo,e anche sul segno della derivata ai fini di trovare questi punti.
In particolare:
$f(x)=log|x^2-4|$ cui $f^{\prime}(x)= ( 2x)/(x^2-4)$
Vediamo dove la derivata si annulla;
i punti $x=-2$,$x=2$ possono trarre in inganno,questi due punti annullano la derivata ma non permettono la condizione $f^{\prime}(x)=0$ per essere eventuali punti di Massimo o minimo.
ad occhio quindi resta solo 0 ; e per $x=0$ si ha $f(0)= log4$ :
La funzione ammette un punto di Massimo relativo in $x=0$ mentre non ha punti di miimo relativo.
tutto questo perchè ??
sebbene ho studiato dal testo la seguente teoria...
nel testo , indica il metodo della derivata prima per classificare i punti critici.
affermando che se $f^{\prime}(x)=$a $<=0 $con $ x_0
non ho capito cosa significa tutto ciò analiticamente?
potreste aiutarmi perfavore?
magari utilizzando la funzione sopracitata...
grazie.
hai derivato senza contare il modulo. In realtà avresti: $f'(x) = (2x)/|x^2 - 4|sgn(x^2 -4)$
"stefano_89":
hai derivato senza contare il modulo. In realtà avresti: $f'(x) = (2x)/|x^2 - 4|sgn(x^2 -4)$
.... vabè ma il punto non è questo...
la richiesta era più generalizzata nel post precedente
Non vorrei scrivere sciocchezze.
Ma ammettendo che la tua derivata prima sia quella che hai scritto tu
Ponendo $f'(x)=0$ ti trovi gli eventuali punti critici (punto stazionario, massimi, minimi)
Dopo poni $f'(x)>0$ per la crescenza e la decrescenza della funzione.
In questo caso l'avevamo calcolati prima con lo studio del segno.
Solo che ora devi vedere dove cresce e decresce.
$0$ è un massimo relativo.
Ma non ci sono minimi relativi, perchè non ci sono $2$ e $-2$ nell'insieme di definizione della funzione derivata, cioè non è derivabile in quei punti.
Ma ammettendo che la tua derivata prima sia quella che hai scritto tu
Ponendo $f'(x)=0$ ti trovi gli eventuali punti critici (punto stazionario, massimi, minimi)
Dopo poni $f'(x)>0$ per la crescenza e la decrescenza della funzione.
In questo caso l'avevamo calcolati prima con lo studio del segno.
Solo che ora devi vedere dove cresce e decresce.
$0$ è un massimo relativo.
Ma non ci sono minimi relativi, perchè non ci sono $2$ e $-2$ nell'insieme di definizione della funzione derivata, cioè non è derivabile in quei punti.
"mat100":
$f(x)=log|x^2-4|$ cui $f^{\prime}(x)= ( 2x)/(x^2-4)$
Vediamo dove la derivata si annulla;
i punti $x=-2$,$x=2$ possono trarre in inganno,questi due punti annullano la derivata
Qui c'è l'errore: $x=-2$,$x=2$ NON annullano la derivata, bensì annullano il denominatore della derivata che è ben diverso...
"leena":
[quote="mat100"]$f(x)=log|x^2-4|$ cui $f^{\prime}(x)= ( 2x)/(x^2-4)$
Vediamo dove la derivata si annulla;
i punti $x=-2$,$x=2$ possono trarre in inganno,questi due punti annullano la derivata
Qui c'è l'errore: $x=-2$,$x=2$ NON annullano la derivata, bensì annullano il denominatore della derivata che è ben diverso...[/quote]
forse ho usato un termine diverso, ma $f^{\prime}(x) = (2x)/(x^2-4)$ in $2$ e $-2$ non è definita...
questo fammelo passare !la richiesta bensì è un altra, trovare i candidati $x_0$ in modo che si verifichi $f^{\prime}(x) =0$ ??
ovviamente per Massimimi e Minimi relativi, dobbiamo cercarli nell'intervallo di derivabilità trovato.
graficamente disegnando a grosso modo il grafico di questa funzione, si può capire facilmente che il punto $0$ può , "è", di massmio relativo.
ma il metodo risolutivo analitico per provare ciò?
si basa solo ed esclusivamente sostituendo i valori degli intervalli trovati nella funzione primaria $f(x)$ ??
e vedere i valori che restituisce....?
.... ditemi
La funzione $f(x)= log|x^2-1|$ ha derivata: $f'(x)= 1/(|x^2-1|) * (|x^2-4|/(x^2-4)) * 2x$; cioè $f'(x)= (2x)/(x^2-4)$ (poichè i valori assoluti si semplificano).
Per ricercare eventuali punti di massimo, minimo, devi vedere dove la derivata prima si annulla; cioè per quali $x$ , accade che $f'(x)=0$;
E' evidente che$ (2x)/(x^2-4) = 0 $ $hArr$ $x=0$
Quindi $x=0$ è l'unico candidato ad essere massimo o minimo.
Dico unico perchè il Teorema di Fermat ci dice che un punto $x_0$ per essere massimo o minimo deve avere necessariamente la derivata prima $=0$, l'unico punto che nel nostro caso verifica tale condizione è proprio $x=0$ (unico punto in cui la derivata prima si annulla).
Ovviamente è solo un possibile candidato (cioè non è sicuro che lo sia), perchè non vale sempre il viceversa del teorema di fermat, cioè non possiamo dire che se $f'(x_0)=0$ allora $x_0$ è massimo o minimo.
Quindi anche se la derivata prima in $x_0$ si annulla, non è detto che $x_0$ sia un massimo o un minimo, potrebbe anche essere un punto di flesso a tangente orizzontale.
Sicuramente altri punti diversi da $x=0$, possiamo già escluderli tutti nella ricerca di massimi e minimi, perché sono punti in cui la derivata prima non si annulla, quindi, per loro, già manca la condizione necessaria per essere massimi e minimi.
$x=0$ è l'unico che potrebbe esserlo, perchè verifica la condizione necessaria per essere massimo o minimo, però non è detto che lo sia.
Per verificarlo, dobbiamo studiare il segno della derivata prima ponendo $f'(x)>0$, e vedere cosa accade in un intorno di $x=0$.
detto in parole spicciole,
se a sinistra di $x_0$ il segno della derivata è positivo, mentre a destra è negativo: abbiamo un massimo relativo
se a sinistra di $x_0$ il segno della derivata è negativo, mentre a destra è positivo: abbiamo un minimo relativo
se sia a sinistra che a destra è sempre positivo o sempre negativo, allora abbiamo un punto di flesso a tg orizzontale.
Verifichiamo:
$f'(x)>0$ $hArr$ $(2x)/(x^2-4) > 0$
Studiando questa banale disequazione con il metodo grafico otteniamo:
Come noti dall'immagine, a sinistra di $0$ il segno della derivata è positivo (+), mentre a destra è negativo (-), per cui possiamo concludere che in $x=0$, abbiamo un punto di massimo relativo.
Per ricercare eventuali punti di massimo, minimo, devi vedere dove la derivata prima si annulla; cioè per quali $x$ , accade che $f'(x)=0$;
E' evidente che$ (2x)/(x^2-4) = 0 $ $hArr$ $x=0$
Quindi $x=0$ è l'unico candidato ad essere massimo o minimo.
Dico unico perchè il Teorema di Fermat ci dice che un punto $x_0$ per essere massimo o minimo deve avere necessariamente la derivata prima $=0$, l'unico punto che nel nostro caso verifica tale condizione è proprio $x=0$ (unico punto in cui la derivata prima si annulla).
Ovviamente è solo un possibile candidato (cioè non è sicuro che lo sia), perchè non vale sempre il viceversa del teorema di fermat, cioè non possiamo dire che se $f'(x_0)=0$ allora $x_0$ è massimo o minimo.
Quindi anche se la derivata prima in $x_0$ si annulla, non è detto che $x_0$ sia un massimo o un minimo, potrebbe anche essere un punto di flesso a tangente orizzontale.
Sicuramente altri punti diversi da $x=0$, possiamo già escluderli tutti nella ricerca di massimi e minimi, perché sono punti in cui la derivata prima non si annulla, quindi, per loro, già manca la condizione necessaria per essere massimi e minimi.
$x=0$ è l'unico che potrebbe esserlo, perchè verifica la condizione necessaria per essere massimo o minimo, però non è detto che lo sia.
Per verificarlo, dobbiamo studiare il segno della derivata prima ponendo $f'(x)>0$, e vedere cosa accade in un intorno di $x=0$.
detto in parole spicciole,
se a sinistra di $x_0$ il segno della derivata è positivo, mentre a destra è negativo: abbiamo un massimo relativo
se a sinistra di $x_0$ il segno della derivata è negativo, mentre a destra è positivo: abbiamo un minimo relativo
se sia a sinistra che a destra è sempre positivo o sempre negativo, allora abbiamo un punto di flesso a tg orizzontale.
Verifichiamo:
$f'(x)>0$ $hArr$ $(2x)/(x^2-4) > 0$
Studiando questa banale disequazione con il metodo grafico otteniamo:
Come noti dall'immagine, a sinistra di $0$ il segno della derivata è positivo (+), mentre a destra è negativo (-), per cui possiamo concludere che in $x=0$, abbiamo un punto di massimo relativo.
"Mathcrazy":
La funzione $f(x)= log|x^2-1|$ ha derivata: $f'(x)= 1/(|x^2-1|) * (|x^2-4|/(x^2-4)) * 2x$; cioè $f'(x)= (2x)/(x^2-4)$ (poichè i valori assoluti si semplificano).
Per ricercare eventuali punti di massimo, minimo, devi vedere dove la derivata prima si annulla; cioè per quali $x$ , accade che $f'(x)=0$;
E' evidente che$ (2x)/(x^2-4) = 0 $ $hArr$ $x=0$
Quindi $x=0$ è l'unico candidato ad essere massimo o minimo.
Dico unico perchè il Teorema di Fermat ci dice che un punto $x_0$ per essere massimo o minimo deve avere necessariamente la derivata prima $=0$, l'unico punto che nel nostro caso verifica tale condizione è proprio $x=0$ (unico punto in cui la derivata prima si annulla).
Ovviamente è solo un possibile candidato (cioè non è sicuro che lo sia), perchè non vale sempre il viceversa del teorema di fermat, cioè non possiamo dire che se $f'(x_0)=0$ allora $x_0$ è massimo o minimo.
Quindi anche se la derivata prima in $x_0$ si annulla, non è detto che $x_0$ sia un massimo o un minimo, potrebbe anche essere un punto di flesso a tangente orizzontale.
Sicuramente altri punti diversi da $x=0$, possiamo già escluderli tutti nella ricerca di massimi e minimi, perché sono punti in cui la derivata prima non si annulla, quindi, per loro, già manca la condizione necessaria per essere massimi e minimi.
$x=0$ è l'unico che potrebbe esserlo, perchè verifica la condizione necessaria per essere massimo o minimo, però non è detto che lo sia.
Per verificarlo, dobbiamo studiare il segno della derivata prima ponendo $f'(x)>0$, e vedere cosa accade in un intorno di $x=0$.
detto in parole spicciole,
se a sinistra di $x_0$ il segno della derivata è positivo, mentre a destra è negativo: abbiamo un massimo relativo
se a sinistra di $x_0$ il segno della derivata è negativo, mentre a destra è positivo: abbiamo un minimo relativo
se sia a sinistra che a destra è sempre positivo o sempre negativo, allora abbiamo un punto di flesso a tg orizzontale.
Verifichiamo:
$f'(x)>0$ $hArr$ $(2x)/(x^2-4) > 0$
Studiando questa banale disequazione con il metodo grafico otteniamo:
Come noti dall'immagine, a sinistra di $0$ il segno della derivata è positivo (+), mentre a destra è negativo (-), per cui possiamo concludere che in $x=0$, abbiamo un punto di massimo relativo.
Questa Spiegazione mi ha cambiato la Vita XD hahahah!
Matcrazy ... 6 stato chiarissimo, diciamo che ho trovato nel tuo modo di esplicitare le cose.... una chiarezza del 99% delle cose che scrivi.
prima o poi anche io ci riuscirò huiahuahuhau!Thankx.
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