Segno e dominio di queste f(x)
ciao,
che metodo usereste per studiare in modo efficace, veloce e semplice il dominio ed il segno di queste due funzioni ? :
1)
2)
poi per le derivate c sarebbero problemi ?
che metodo usereste per studiare in modo efficace, veloce e semplice il dominio ed il segno di queste due funzioni ? :
1)

2)

poi per le derivate c sarebbero problemi ?
Risposte
Ciao, per quanto riguarda il dominio della prima, è x # 0.
Infatti la prima funzione è la somma della funzione algebrica razionale
f(x) = x definita su tutto l'asse reale, e della funzione esponenziale ad esponente
frazionario f(x) = e^(-1/x), definita per qualunque x # 0.
Se l'esponente fosse stato, per esempio, 2x, anziché -1/x, allora
la funzione sarebbe definita su tutto l'asse reale.
Per quanto riguarda la seconda funzione il dominio si calcola con il
seguente sistema di disequazioni:
{x > 0 [condizione di esistenza del logaritmo]
{e + x*log(x) # 0 [denominatore diverso da zero]
Per risolvere la seconda possiamo utilizzare le proprietà dei logaritmi
tenendo conto che e = log(e^e) e che x*log(x) = log(x^x). Quindi si ha:
log(e^e) + log(x^x) # 0
log((e^e)*(x^x)) # 0
(e^e)*(x^x) # 1
x^x # e^(-e)
che è vera per ogni x reale.
Quindi il dominio è x > 0.
Infatti la prima funzione è la somma della funzione algebrica razionale
f(x) = x definita su tutto l'asse reale, e della funzione esponenziale ad esponente
frazionario f(x) = e^(-1/x), definita per qualunque x # 0.
Se l'esponente fosse stato, per esempio, 2x, anziché -1/x, allora
la funzione sarebbe definita su tutto l'asse reale.
Per quanto riguarda la seconda funzione il dominio si calcola con il
seguente sistema di disequazioni:
{x > 0 [condizione di esistenza del logaritmo]
{e + x*log(x) # 0 [denominatore diverso da zero]
Per risolvere la seconda possiamo utilizzare le proprietà dei logaritmi
tenendo conto che e = log(e^e) e che x*log(x) = log(x^x). Quindi si ha:
log(e^e) + log(x^x) # 0
log((e^e)*(x^x)) # 0
(e^e)*(x^x) # 1
x^x # e^(-e)
che è vera per ogni x reale.
Quindi il dominio è x > 0.
ottimo grazie !!!
e senti per la derivata c sono problemi ? o vale sempre lo stesso criterio ?
e senti per la derivata c sono problemi ? o vale sempre lo stesso criterio ?
Le derivate sono abbastanza semplici.
1) D(x + e^(-1/x)) = 1 + D(e^(-1/x)) = 1 + D(1/(e^(1/x)))
e applicando la regola di derivazione del reciproco di una funzione si ha:
1 + 1/(x^2 * e^(1/x))
La seconda è un po' più tosta da derivare ma in fondo
basta applicare la regola di derivazione del quoziente di
due funzioni e per il resto i calcoli sono un po' lunghetti
ma non molto difficili.
1) D(x + e^(-1/x)) = 1 + D(e^(-1/x)) = 1 + D(1/(e^(1/x)))
e applicando la regola di derivazione del reciproco di una funzione si ha:
1 + 1/(x^2 * e^(1/x))
La seconda è un po' più tosta da derivare ma in fondo
basta applicare la regola di derivazione del quoziente di
due funzioni e per il resto i calcoli sono un po' lunghetti
ma non molto difficili.
mm ok si .. io dicevo in genere quando ci si trovare di fronte a funzioni di questo tipo... a volta derivando al denominatore rimangono polinomi di cui è difficile studiare il segno... ma credo che facendo come fai te non c siano problemi...
Se possono farti comodo ecco i grafici delle due funzioni:







con che prog li hai fatti ? a me il derive non li fa... dice ke c sono troppe variabili...
Li ho fatti proprio con Derive. Dallo stile con
cui sono scritte le funzioni da te postate deduco
che possiedi Derive 6. Impossibile: non ci sono
troppe variabili. Devi scrivere semplicemente
l'espressione della f(x). Ad esempio per fare il
grafico della prima inserisci nella barra:
x + e^(-1/x) , premi INVIO, clicca su un punto
qualsiasi del piano cartesiano, premi F4 e avrai
il grafico. Fai così anche con l'altra funzione
e fammi sapere se hai ottenuto anche l'altro grafico.
cui sono scritte le funzioni da te postate deduco
che possiedi Derive 6. Impossibile: non ci sono
troppe variabili. Devi scrivere semplicemente
l'espressione della f(x). Ad esempio per fare il
grafico della prima inserisci nella barra:
x + e^(-1/x) , premi INVIO, clicca su un punto
qualsiasi del piano cartesiano, premi F4 e avrai
il grafico. Fai così anche con l'altra funzione
e fammi sapere se hai ottenuto anche l'altro grafico.
mi dice troppe variabili per la finestra grafica
Probabilmente questo avviene perche' tu scrivi
la "e" con la tastiera.Devi usare invece lo specifico
simbolo di Derive che si trova nella barra dei simboli.
(in basso a destra,la "e" col cappelletto!).
karl.
la "e" con la tastiera.Devi usare invece lo specifico
simbolo di Derive che si trova nella barra dei simboli.
(in basso a destra,la "e" col cappelletto!).
karl.
Giusto karl!!! Non ci avevo pensato!
Devi premere CTRL+E per far capire a Derive
che quello che stai scrivendo
non è la lettera 'e', ma il numero di Nepero!
Devi premere CTRL+E per far capire a Derive
che quello che stai scrivendo
non è la lettera 'e', ma il numero di Nepero!
ottimo grazie 
non lo sapevo... infatti la scrivevo con la tastiera...ora va bene grazie ancora...

non lo sapevo... infatti la scrivevo con la tastiera...ora va bene grazie ancora...
Puoi anche scriverla con la tastiera, l'importante è digitare CTRL+E
si si ho notato...preferisco farlo con la tastiera perchè mi trovo meglio 
grazie...

grazie...