Segno di funzione

[galles90]

Buonasera,

Ho la seguente funzione $f(x)=ln|x|-(x^2-1)/(x)$, di cui sto facendo lo studio di funzione.

Il dominio è $mathbb{R}-{0}$ di cui interseca nei punti $A=(-1,0)$ e $B=(1,0)$, devo determinare il segno di tale funzione, faccio il seguente ragionamento " vi chiedo se è corretto "

Ricordando il teorema della permanenza del segno il quale dice
Sia $f(x)$ una funzione definita in un intorno di $x_0$ e sia continua in $x_0$. Se $f(x_0)>0$ esiste un $delta>0$ con la propritetà che $f(x)>0$ per ogni $x in (x_0-delta, x_0+delta)$.

Visto che la funzione si annulla nei punti $A, B$ potrei calcolarmi $lim_(x to + infty) f(x)$ e $lim_(x to 1) f(x)$ quindi determinare gli intervalli di $f$ in cui risulta positiva e nagativa.

E' corretto ?

Cordiali Saluti

[gugo82]

"galles90":Ho la seguente funzione $f(x)=ln|x|-(x^2-1)/(x)$, di cui sto facendo lo studio di funzione.

Bene, ma questo passo:

"galles90":Il dominio è $mathbb{R}-{0}$ di cui interseca nei punti $A=(-1,0)$ e $B=(1,0)$[...]

cosa significa esattamente?

"galles90":devo determinare il segno di tale funzione, faccio il seguente ragionamento " vi chiedo se è corretto "

Ricordando il teorema della permanenza del segno il quale dice
Sia $f(x)$ una funzione definita in un intorno di $x_0$ e sia continua in $x_0$. Se $f(x_0)>0$ esiste un $delta>0$ con la propritetà che $f(x)>0$ per ogni $x in (x_0-delta, x_0+delta)$.

Visto che la funzione si annulla nei punti $A, B$ potrei calcolarmi $lim_(x to + infty) f(x)$ e $lim_(x to 1) f(x)$ quindi determinare gli intervalli di $f$ in cui risulta positiva e nagativa.

Il T.d.P.d.S. non ti consente di "determinare" gli intervalli in cui la tua funzione è positiva/negativa.
L'unica cosa che ti consente di dire è che (ad esempio) la tua funzione è negativa per $x$ sufficientemente grande positivamente (cioè intorno a $+oo$) o negativamente (cioè intorno a $-oo$).
Su tutto il resto, cioè su come va la faccenda per $x$ non troppo grande (in un verso o nell'altro), il T.d.P.d.S. non asserisce alcunché.
Analogamente, dato che $lim_(x\to 0^(-)) f(x) =-oo$, puoi dire che per $x$ sufficientemente piccolo e vicino a $0$ da sinistra (cioè dal lato negativo) la tua funzione assume valori negativi... Ma non puoi dire nulla su cosa succede prima di tale intorno.

Detto in maniera più precisa, le info che il T.d.P.d.S. fornisce sono di natura locale. Se ti bastano o no per risolvere il problema che stai affrontando devi deciderlo tu.

[galles90]

ciao gugo82,

ho la seguente funzione $f(x)=ln|x|-(x^2-1)/(x)$

il domino di tale funzione è $X=mathbb{R}-{0}$,poi ho determinato i punti d'intersezione cioè, per $x=0$ non possiamo dire nulla in quanto tale punto non appartiene al dominio della funzione, invece per $y=0$ ho preso la relazione $ln|x|=(x^2-1)/(x)$, la quale risulta vera per $x=-1 $ e $x=1$ quindi i punti sono $A$ e $B$.

"gugo82":
Il T.d.P.d.S. non ti consente di "determinare" gli intervalli in cui la tua funzione è positiva/negativa.
L'unica cosa che ti consente di dire è che (ad esempio) la tua funzione è negativa per $ x $ sufficientemente grande positivamente (cioè intorno a $ +oo $) o negativamente (cioè intorno a $ -oo $).

Si è vero questo, mi sono espresso male, come hai detto non posso determinare gli intervalli.
Prendo in esame il caso in cui $x>0$, per tali valori la funzione si annulla solo in $x=1$, quindi $f$ non ha più zeri, per cui il segno di tale funzione rimane costante per tutto l'intervallo $I_1=(1,+infty)$.
Quindi il segno di $f$ lo poso dedurre dal T.d.P.d.S. ?

[gugo82]

"galles90":ciao gugo82,

ho la seguente funzione $f(x)=ln|x|-(x^2-1)/(x)$

[...] poi ho determinato i punti d'intersezione [...]

“Intersezione” di cosa? Con cosa?

"galles90":cioè, per $x=0$ non possiamo dire nulla in quanto tale punto non appartiene al dominio della funzione, invece per $y=0$ ho preso la relazione $ln|x|=(x^2-1)/(x)$, la quale risulta vera per $x=-1 $ e $x=1$ quindi i punti sono $A$ e $B$.

Sicuro che altre soluzioni non esistano?
Come hai fatto a stabilirlo? “A naso”? O ci hai ragionato? E se sì, come?

"galles90":[quote="gugo82"]
Il T.d.P.d.S. non ti consente di "determinare" gli intervalli in cui la tua funzione è positiva/negativa.
L'unica cosa che ti consente di dire è che (ad esempio) la tua funzione è negativa per $ x $ sufficientemente grande positivamente (cioè intorno a $ +oo $) o negativamente (cioè intorno a $ -oo $).

Si è vero questo, mi sono espresso male, come hai detto non posso determinare gli intervalli.
Prendo in esame il caso in cui $x>0$, per tali valori la funzione si annulla solo in $x=1$, quindi $f$ non ha più zeri, per cui il segno di tale funzione rimane costante per tutto l'intervallo $I_1=(1,+infty)$.[/quote]
Perché?

Chiarisco: perché sei sicuro che $f$ non abbia zeri oltre $1$? (Ciò si ricollega alla domanda fatta più sopra...) E perché sei sicuro che, pur non avendo altri zeri, il segno della funzione non possa cambiare?

"galles90":Quindi il segno di $f$ lo posso dedurre dal T.d.P.d.S.?

Per come hai impostato la cosa, la Permanenza del Segno non la stai usando proprio... Sono altri i mezzi che stai adoperando (senza purtroppo accorgertene).

[galles90]

Ciao gugo82,

scusa se rispondo con un pò di ritardo, comunque ho fatto la seguente analisi:

sia $I=(0,+infty)$ e $f(x)=ln(x)$, $g(x)=(x^2-1)/(x)$.
Per ogni $x,y \in I |x Considero due sotto intervalli di $I$ cioè $A=(0,1]$ $B=(1,+infty)$, sia $f$ che $g$, cambiano verso entrambe, al passaggio da $A$ a $B$.
Considerando che per $x=1$ si ha $f=g=0$, per cui posso dire che:
$h(x)=ln(x)-(x^2-1)/(x)$; risulta positiva in $B$ e negativa in $A$ e si annula solo $x=1$.

Va bene come osservazione ?

[anto_zoolander]

... *compare*

psst.. [size=60]studiati la derivata[/size]

...*scompare*

[gugo82]

@galles90: Da ciò che hai scritto, cioè dalla stretta monotònia di $f$ e $g$ e dal fatto che esse si annullano entrambe in $1$, non discende nessuna delle conclusioni che trai dopo.

Tanto per capirci, anche le funzioni $f(x) = log x$ e $g(x) = 5(x-1)^3$ sono strettamente crescenti in $]0,+oo[$ e nulle in $1$, e però facendo un diagramma si vede che i loro grafici si intersecano in quattro punti: ciò implica che $h(x)=f(x)-g(x)$ cambia segno ben cinque volte (!) in $]0,+oo[$
[asvg]xmin=-1; xmax=4; ymin=-5; ymax=5;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("log(x)",0.005,6);
stroke="dodgerblue"; plot("5*(x-1)^3",-1,6);[/asvg]

[galles90]

Buonasera, grazie ad entrambi per le risposte
ho provato con un'altra strada ditemi sempre se sbaglio:

Per ogni $x>0$ siano:
$f(x)=ln(x)$
$g(x)=(x^2-1)/(x)$
$z(x)=x$

ricordando che $a ge b$ se e soltanto se $ a-b ge 0 $

per $x in 0 $z(x)ge f(x) ge g(x) to x ge ln(x)ge (x^2-1)/(x) to 1 ge lnx/x ge 1-1/x^2 $
$f(x)-g(x) ge 0$
per $x>1$
$z(x)ge g(x) ge f(x) to x ge (x^2-1)/(x) ge lnx to 0 ge -1 ge x(lnx-x) $
l'ultima relazione $lnx-x < 0 $ quindi $f(x)-g(x)< 0 $

Per cui si ha $h(x)=lnx-(x^2-1)/(x) ge 0$ per $0

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[gugo82]

Scusa, ma $f(x)>= g(x)$ o $g(x) >= f(x)$ le devi dimostrare... Mica le puoi prendere come ipotesi!
Al massimo, inverti le frecce.

P.S.: Ma cosa stai studiando?
Roba del liceo? Analisi I? Matematica Generale?

[galles90]

si hai ragione, scusami

Partiamo dalla relazione $f(x) ge g(x)$ e sia $A=(0,1]$;

$h(x)=x$
$g(x)=(x^2-1)/(x)$
$h(x) ge g(x) to e^(h(x)) ge e^(g(x))$ per ogni $x in A$

ricordando l'identità $e^x ge x$, in particolare:
per ogni $x in A$ si ha $-infty < g(x)<0 to $ allora $x ge 1/e^(g(x))$
quindi ottengo:
$e^x ge x ge e^((x^2-1)/(x)) to x ge lnx ge (x^2-1)/(x) to 1 ge lnx/x ge1-1/x^2$.

Invece per $g(x) ge f(x)$, considero $B=(1,+infty)$.
$h(x)=x$
$g(x)=(x^2-1)/(x)$
$h(x) ge g(x) to e^(h(x)) ge e^(g(x))$ per ogni $x in B$

ricordando l'identità $e^x ge x$, in particolare:
per ogni $x in B$ si ha $ 1< g(x)<+infty to $ allora $x le e^(g(x))$
$e^x ge e^((x^2-1)/(x)) ge x to x ge (x^2-1)/(x) ge lnx to 0 ge -1 ge x(lnx-x)$.

[anto_zoolander]

Galles ma perché non leggi quello che ti si scrive?stai lasciando sbattere tutti.

[galles90]

anto_zoolander intendi dire

"gugo82": Al massimo, inverti le frecce.

[gugo82]

Non solo.
Intende anche che sembra tu non abbia colto alcuno degli spunti di riflessione che ti ho porto e che non hai risposto a nessuna delle domande che ti ho posto.

Sembra quasi che non ti interessi riflettere sui tuoi errori o peggio, che riporti qui le risposte prese da qualche altro sito/forum per avere conferma.

[galles90]

Per la domanda: sto studiando "ci provo" analisi 1.
Non ho capito cosa intendi quando dici:" inverti le frecce ", comunque i miei errori, sono miei,quindi non prendo spunto da nessun altro forum.

Anzi mi farebbe piacere che qualcuno mi potrebbe indirizzare sulla strada giusta, anche perchè a studiare da "solo" per certi versi non è molto bello.

Ritornado all'affermazione "inverti le frecce" suppongo vorresti dire le $ge $ o $le$ .

[anto_zoolander]

e non solo, ti avevo detto pure di studiare la derivata, che è uno spoiler grandioso.

[gugo82]

Nono. Intendevo inverti le implicazioni.

Se studi Analisi I, dovresti conoscere le derivate: usale.


P.S.: Ho sempre studiato da solo... Non è poi male.

[galles90]

Quande cose che non ho fatto
si anto_zoolander, si risolve subito prendendo quella strada... ma vorrei se ci fossero le possibiltà proseguire con questo metodo, tutto quì, dovevo diretlo subito la mia idea.

[gugo82]

Sarebbe stato il caso.

Ad ogni buon conto, a meno che tu non voglia/debba perdere tempo di proposito sul problema, quando lo studio del segno conduce a disequazioni complicate/non elementari è norma tralasciarlo.
Le informazioni sul segno si recuperano in un secondo momento, sfruttando le informazioni sulla monotonia.

[anto_zoolander]

"galles90":si risolve subito prendendo quella strada...

mostraci come si risolve subito: perchè comunque richiede di avere a mente un paio di teoremi utilissimi.

[galles90]

Ciao,
Per poter dimostrare le relazioni:
$g(x)=(x^2-1)/(x) ge lnx=f(x)$,
$g(x)=(x^2-1)/(x) le lnx=f(x)$.

ho usato il seguente il criterio:
Siano $f, g $ due funzioni continue in $[a,b]$ e derivabili in $(a,b)$. Si supponga che $g' ge f'$ per ogni $x in (a,b)$ e che $f(x_0)=g(x_0)$ per qualche $x_0 in (a,b)$, si ottiene
1) $g(x) ge f(x) forall x in [x_0,b]$
1) $g(x) le f(x) forall x in [a,x_0]$

" la dimostrione di tale criterio, si base sul teorema di Lagrange "

Per l'intervallo $[a,b]$
considero l'intervallo $A={[a,b] subset mathbb{R_+}-{0}}$ tale che $f,g$ risultino continue e derivabili in $ B={(a,b) subset mathbb{R}-{0}}$.

$g'=1+1/x^2$
$f'=1/x$
per cui si osserva che $g' ge f' forall x in B$
$x_0=1 : g(x_0)=0=f(x_0)$ con $x_0 in B$

sono soddisfatte le condizioni del crieterio detto, quindi:
$g(x)=(x^2-1)/(x) ge lnx=f(x)$ per ogni $x in A=[1,b]$
$g(x)=(x^2-1)/(x) le lnx=f(x)$ per ogni $x in B=[a,1]$
con $a,b in A$

Ci sono errori ?

Buona domenica

[anto_zoolander]

non puoi considerare quell'intervallo, perché non è un intervallo.
Se vuoi procedere lungo questa strada devi considerare gli intervalli $(0,+infty)$ e $(-infty,0)$

in ogni caso devi considerare la stretta crescenza, hai bisogno di sapere il numero preciso di zeri per avere contezza di quello che la funzione sta facendo.