Segno del laplaciano
Salve ho un dubbio. Se ho una funzione u diciamo di classe [tex]C^2[/tex] che assume un massimo in un punto interno di un insieme [tex]x_0[/tex] si può affermare che [tex]\Delta u (x_0)<0[/tex] con il minore stretto? Ho pensato che sia così perchè la matrice hessiana è semidefinita negativa quindi ha autovalori minori o uguali di zero, ma almeno uno dovrà essere strettamente minore di zero, o mi sbaglio?
Risposte
Il laplaciano è la traccia della matrice hessiana, ed in generale (se non erro) quando una matrice simmetrica è semidefinita negativa, la sua traccia è \(\leq 0\) e non \(<0\).
Per fugare ogni dubbio, considera la funzione \(u(x_1,\ldots, x_N):=x_1^4\); evidentemente essa è \(C^2(\mathbb{R}^N)\) ed ha un minimo assoluto in \(o=(0,\ldots ,0)\); però la matrice hessiana di \(u\) è nulla in \(o\), sicché anche il laplaciano \(\Delta u\) è nullo.
Per fugare ogni dubbio, considera la funzione \(u(x_1,\ldots, x_N):=x_1^4\); evidentemente essa è \(C^2(\mathbb{R}^N)\) ed ha un minimo assoluto in \(o=(0,\ldots ,0)\); però la matrice hessiana di \(u\) è nulla in \(o\), sicché anche il laplaciano \(\Delta u\) è nullo.
Infatti mi sembrava che non tornasse, grazie!
"gugo82":
la funzione \(u(x_1,\ldots, x_N):=x_1^4\); evidentemente essa è \(C^2(\mathbb{R}^N)\) ed ha un minimo assoluto in \(o=(0,\ldots ,0)\)
Ciao Gugo. Magari dico na fesseria, ma come fa $O$ ad essere minimo assoluto per $u$? A me sembra che nei punti $(0, x_2, ...,x_N)$ la funzione assuma lo stesso valore $\forall x_2,...,x_N$...
Dal momento che \(u(x) \geq u(0)\) per ogni \(x\in\mathbb{R}^n\), per definizione \(0\) è un punto di minimo assoluto.
Se vuoi non è di minimo assoluto stretto; l'esempio di Gugo può essere facilmente modificato in tal senso prendendo
\[
u(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^4.
\]
Se vuoi non è di minimo assoluto stretto; l'esempio di Gugo può essere facilmente modificato in tal senso prendendo
\[
u(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^4.
\]
Grazie Rigel! 
Quindi è solo questione di definizioni...io ero abituato a dire che si dovesse avere $u(x)>u(0)$ $\forall x$ per avere un minimo assoluto (in altre parole, ignoravo la distinzione tra estremi assoluti deboli e stretti).
Grazie ancora!
Quindi è solo questione di definizioni...io ero abituato a dire che si dovesse avere $u(x)>u(0)$ $\forall x$ per avere un minimo assoluto (in altre parole, ignoravo la distinzione tra estremi assoluti deboli e stretti).Grazie ancora!
Un punto di minimo relativo \(x_0\) è detto di minimo assoluto per \(u:X\to \mathbb{R}\) se e solo se \(\displaystyle u(x_0)=\min_X u\).
La distinzione tra disuguaglianza stretta o debole è quella che passa tra minimo stretto o debole; la "assolutezza" non c'entra nulla con le disuguaglianze.
La distinzione tra disuguaglianza stretta o debole è quella che passa tra minimo stretto o debole; la "assolutezza" non c'entra nulla con le disuguaglianze.
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