Secondo termine sviluppo taylor
Ciao,
come si a trovare lo sviluppo di taylor di questa funzione con $ x -> ∞ $ ?
$ (4pi^2x^4)/(2pi^2x^2+1) $
Il primo termine l'ho calcolato perché il denominatore è asintotico allo stesso senza il +1, ma fermandomi qui nella funzione dell'esercizio (questa che vi ho postato è solo una parte), mi si "elimina" questo primo termine dello sviluppo ( $ 2x^2 $ ).
Da wolframalpha ho visto che il secondo termine sarebbe $ -1/pi^2 $ , ma non capisco come trovarlo.
Grazie
come si a trovare lo sviluppo di taylor di questa funzione con $ x -> ∞ $ ?
$ (4pi^2x^4)/(2pi^2x^2+1) $
Il primo termine l'ho calcolato perché il denominatore è asintotico allo stesso senza il +1, ma fermandomi qui nella funzione dell'esercizio (questa che vi ho postato è solo una parte), mi si "elimina" questo primo termine dello sviluppo ( $ 2x^2 $ ).
Da wolframalpha ho visto che il secondo termine sarebbe $ -1/pi^2 $ , ma non capisco come trovarlo.
Grazie
Risposte
Che vuol dire sviluppo di Taylor all'infinito? Gli sviluppi di Taylor si fanno centrati in un punto reale. Da dove viene l'esercizio?
Intendevo dire che il limite che devo calcolare tende all'infinito però non penso che questo cambi l'equivalenza asintotica che cerco con Taylor
Ok, quindi devi calcolare un limite. Riporta sempre per intero il testo del problema, o altrimenti capitano queste incomprensioni che fanno perdere tempo sia a te sia a chi cerca di aiutarti.
Hai che:
$$\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2+1}=\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2x^2\left(1+\frac{1}{2\pi^2x^2}\right)}=2x^2\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2\pi^2 x^2}\right)}$$
Dato che $-\frac{1}{2 \pi^2 x^2} \to 0$ per $x \to +\infty$, segue che $\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2\pi^2 x^2}\right)}$ può essere approssimata con la somma parziale di una serie geometrica con un errore espresso in forma di resto di Peano. Approssimala quanto basta per calcolare il limite che ti interessa.
E non ti fidare di Wolfram Alpha in generale: bisogna saperlo usare. Infatti, quella che ti dà lui è la serie di Laurent.
Hai che:
$$\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2+1}=\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2x^2\left(1+\frac{1}{2\pi^2x^2}\right)}=2x^2\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2\pi^2 x^2}\right)}$$
Dato che $-\frac{1}{2 \pi^2 x^2} \to 0$ per $x \to +\infty$, segue che $\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2\pi^2 x^2}\right)}$ può essere approssimata con la somma parziale di una serie geometrica con un errore espresso in forma di resto di Peano. Approssimala quanto basta per calcolare il limite che ti interessa.
E non ti fidare di Wolfram Alpha in generale: bisogna saperlo usare. Infatti, quella che ti dà lui è la serie di Laurent.
Ho capito grazie mille!! Non ci sarei mai arrivato a scriverla e vederla come serie geometrica...
Ok la prossima volta riporto il testo per intero, scusami
Ok la prossima volta riporto il testo per intero, scusami
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