Se per una funzione esiste la derivata in un punto, diversa da zero, si può dire che è continua nell'intorno del punto?
Non riesco a capire questo esercizio, potete aiutarmi:
Sia f : [-7,-3] $rarr$ $RR$ una funzione derivabile in $x_0$ = -5 tale che f ($x_0$) = 1 e f '($x_0$) = 6. Quale delle seguenti
aff ermazioni e' corretta?
a) esiste $\delta$ > 0 tale che f e' continua in (-5 -$\delta$ ,-5 + $\delta$)$nn$(-7,-3)
b) esiste $\delta$ > 0 tale che f e' crescente in (-5 -$\delta$ ,-5 + $\delta$ )$nn$(-7,-3)
c) esiste $\delta$ > 0 tale che f($x_0$) $>=$ 6x + 31 per ogni x $in$ (-5 -$\delta$ ,-5 + $\delta$)$nn$(-7,-3)
d) f(-6) < f($x_0$) < f(-4)
e) esiste $\delta$ > 0 tale che f(x) < 1 per ogni x $in$ (-5 -$\delta$ ,-5)$nn$(-7,-3)
La risposta giusta è la e.
Io ho fatto queste considerazioni:
So che se la funzione e derivabile in $x_0$, quindi è sicuramente continua in $x_0$ ,non è detto però che sia continua in un intorno di $x_0$: questo mi fa escludere la a.
La funzione potrebbe quindi essere discontinua negli intorno di $x_0$, e quindi non derivabile nei punti diversi da $x_0$, quindi non ho nessuna informazione sulla crescita-decrescita in quei punti: ed escludo la b.
In ogni modo anche se fosse continua non avrei molte informazioni sulla convessita è quinti tanto meno sulla condizione
f($x_0$) $>=$ 6x + 31; lo stesso vale per f(-6) < f(x0) < f(-4), per la quale mi mancano le informazioni necessarie: escludo c e anche d.
Per esclusione è la e, ma come faccio a dire che la funzione in un intorno sinistro di $x_0$ assume valori <1 , se potenzialmente è discontinuà , e quindi potrebbe assumere qualsiasi valore?
Pensando ad una funzione del tipo $ f(x)={(y=1+c(x+5), x in RR\\QQ),(y=1+6(x+5), x in QQ):} $
La funzione è continua solo in $x_0$ per qualsiasi c $ != $ 6 $in RR$,e discontinua altrove. La derivata invece è definita dal limite del rapporto incrementale in $x_0$ solo se c = 6. Quindi con c=6 la funzione è continua in un intorno di $x_0$: potrebbe essere vera la a.
Dove sbaglio? Esiste un contro esempio di a?
Sia f : [-7,-3] $rarr$ $RR$ una funzione derivabile in $x_0$ = -5 tale che f ($x_0$) = 1 e f '($x_0$) = 6. Quale delle seguenti
aff ermazioni e' corretta?
a) esiste $\delta$ > 0 tale che f e' continua in (-5 -$\delta$ ,-5 + $\delta$)$nn$(-7,-3)
b) esiste $\delta$ > 0 tale che f e' crescente in (-5 -$\delta$ ,-5 + $\delta$ )$nn$(-7,-3)
c) esiste $\delta$ > 0 tale che f($x_0$) $>=$ 6x + 31 per ogni x $in$ (-5 -$\delta$ ,-5 + $\delta$)$nn$(-7,-3)
d) f(-6) < f($x_0$) < f(-4)
e) esiste $\delta$ > 0 tale che f(x) < 1 per ogni x $in$ (-5 -$\delta$ ,-5)$nn$(-7,-3)
La risposta giusta è la e.
Io ho fatto queste considerazioni:
So che se la funzione e derivabile in $x_0$, quindi è sicuramente continua in $x_0$ ,non è detto però che sia continua in un intorno di $x_0$: questo mi fa escludere la a.
La funzione potrebbe quindi essere discontinua negli intorno di $x_0$, e quindi non derivabile nei punti diversi da $x_0$, quindi non ho nessuna informazione sulla crescita-decrescita in quei punti: ed escludo la b.
In ogni modo anche se fosse continua non avrei molte informazioni sulla convessita è quinti tanto meno sulla condizione
f($x_0$) $>=$ 6x + 31; lo stesso vale per f(-6) < f(x0) < f(-4), per la quale mi mancano le informazioni necessarie: escludo c e anche d.
Per esclusione è la e, ma come faccio a dire che la funzione in un intorno sinistro di $x_0$ assume valori <1 , se potenzialmente è discontinuà , e quindi potrebbe assumere qualsiasi valore?
Pensando ad una funzione del tipo $ f(x)={(y=1+c(x+5), x in RR\\QQ),(y=1+6(x+5), x in QQ):} $
La funzione è continua solo in $x_0$ per qualsiasi c $ != $ 6 $in RR$,e discontinua altrove. La derivata invece è definita dal limite del rapporto incrementale in $x_0$ solo se c = 6. Quindi con c=6 la funzione è continua in un intorno di $x_0$: potrebbe essere vera la a.
Dove sbaglio? Esiste un contro esempio di a?
Risposte
Per la (e) basta usare la definizione di derivata; per ipotesi sai che
\[
\lim_{x\to -5} \frac{f(x) - f(-5)}{x+5} = 6.
\]
In particolare, per definizione di limite (o se preferisci per il teorema della permanenza del segno), esiste \(\delta \in (0,2)\) tale che
\[
\frac{f(x) - f(-5)}{x+5} > 0\qquad
\forall x\in (-5-\delta, -5).
\]
Poiché, per tali valori di \(x\), si ha \(x+5 < 0\), tale disuguaglianza equivale a
\[
f(x) < f(-5)\qquad
\forall x\in (-5-\delta, -5),
\]
che è esattamente quella cercata.
Per quanto riguarda un controesempio ad (a), ti basta considerare
\[
f(x) = 6x + (x+5)^2 g(x),
\]
con \(g\) la funzione di Dirichlet (che vale \(0\) nei razionali e \(1\) negli irrazionali).
\[
\lim_{x\to -5} \frac{f(x) - f(-5)}{x+5} = 6.
\]
In particolare, per definizione di limite (o se preferisci per il teorema della permanenza del segno), esiste \(\delta \in (0,2)\) tale che
\[
\frac{f(x) - f(-5)}{x+5} > 0\qquad
\forall x\in (-5-\delta, -5).
\]
Poiché, per tali valori di \(x\), si ha \(x+5 < 0\), tale disuguaglianza equivale a
\[
f(x) < f(-5)\qquad
\forall x\in (-5-\delta, -5),
\]
che è esattamente quella cercata.
Per quanto riguarda un controesempio ad (a), ti basta considerare
\[
f(x) = 6x + (x+5)^2 g(x),
\]
con \(g\) la funzione di Dirichlet (che vale \(0\) nei razionali e \(1\) negli irrazionali).
Ora è tutto chiaro 
ci avevo anche pensato ma poi non l'ho fatto... ti ringrazio vivamente.
ci avevo anche pensato ma poi non l'ho fatto... ti ringrazio vivamente.
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