Se le serie divergono cosa succede al loro rapporto?

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Ho due serie divergenti aventi somme parziali xk = a1+...+ak e yk = b1+...+bk
La domanda è:
quanto fa il limite per k che tende ad infinito di xk/yk
il pratica se due serie divergono il loro rapporto dove tende?
A mio parere tende ad 1 ma ho bisogno di una dimostrazione rigorosa.
Grazie

[Quinzio]

Non è detto che faccia 1.
Puo' essere qualsiasi numero. Non è difficile trovare degli esempi.

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io 'avrei' dimostrato che sotto ipotesi che il termine della serie sia un infinitesimo allora necessariamente tale limite sia 1. Cortesemente potresti farmi qualche esempio in cui non sia 1? Io ho girovagato per internet e non ho trovato nulla in merito.

Grazie

[Rigel1]

\(a_n = c/n\), \(b_n = 1/n\), con \(c\) costante qualsiasi non nulla.
Le serie \(\sum a_n\) e \(\sum b_n\) sono entrambe divergenti, hanno entrambe termine generale infinitesimo, e si ha
\[
\frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k} = c\qquad \forall n\in\mathbb{N}.
\]
Puoi ovviamente ottenere anche limite infinito o nullo o non esistente, scegliendo opportunamente i termini generali.

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Grazie Rigel
approfitto della tua gentilezza per dirti il mio problema
si tratta proprio di serie armoniche generalizzate con esponente 0 Grazie

[Rigel1]

Il limite di cui sopra varrà \(0\) se \(ba\), e ovviamente \(1\) se \(b=a\).
Per dimostrare le prime due affermazioni puoi utilizzare il confronto con opportuni integrali, vale a dire
\[
\int_1^{n+1} \frac{1}{x^a} \, dx \leq
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^a}
\leq 1+ \int_1^{n+1} \frac{1}{x^a} \, dx.
\]
Gli integrali possono essere calcolati esplicitamente e analoga stima vale per l'esponente \(b\).

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Ti rigrazio Rigel sei stato molto gentile e molto chiaro