Se le ipotesi del teorema del Dini non valgono...

[nato_pigro1]

Se le ipotesi del teorema del Dini non valgono quali sono le tecniche che si possono usare per dire se in un intorno di un punto in cui una funzione si annulla è possibile definire una funzione implicita?

Ad esempio: $f(x,y)=x-y-cos(x+y)$, è possibile definire una funzione implicita della $x$ o della $y$ in un intorno di $(pi/4,pi/4)$?

Noto che $f(pi/4,pi/4)=0$, $\partial_x f(pi/4,pi/4)=0$, $\partial_yy f(pi/4,pi/4)=-2$. Per il teorema del Dini so che esiste una $\phi(y)$ tale che ecc. ecc...

Porò come faccio a dire che non esiste per la $x$?

[Zkeggia]

Beh il mio professore di analisi nei compiti mette sempre situazioni in cui non ha senso applicare dini, però le domande non sono esattamente uguali alla tua. Spero ti possa aiutare

(es 3):
http://www.dm.unipi.it/~magnani/Analisi ... mpito2.pdf

(es 1)
http://www.dm.unipi.it/~magnani/Analisi ... mpito1.pdf

[nato_pigro1]

ma ad esempio per l'esercizio 1 del compito 1 non bastava dire che si può applicare il teorema del Dini in $(3pi/2,0)$?

ps: ma al secondo anno di fisica fate l'integrale di lebesgue?

[enr87]

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Messaggio

Zkeggia ha scritto:
Beh il mio professore di analisi nei compiti mette sempre situazioni in cui non ha senso applicare dini, però le domande non sono esattamente uguali alla tua. Spero ti possa aiutare

(es 3):
http://www.dm.unipi.it/~magnani/Analisi ... mpito2.pdf

(es 1)
http://www.dm.unipi.it/~magnani/Analisi ... mpito1.pdf



ho letto un po' di fretta, mi pare che in entrambi si porti in condizioni per cui sono verificate le ipotesi del teorema di dini.
a me in generale nei testi dei compiti chiedono di verificare che esiste una funzione implicita nell'intorno di un certo punto x_0, e per farlo si usa dini. credo che difficilmente possa succedere che le ipotesi non siano soddisfatte (almeno per chi non studia matematica)

[nato_pigro1]

bè, io faccio matematica e il mio problema consisteva nel come dire che se le ipotesi del teorema non valgono la funzione implicita è/non è definita...

[Zkeggia]

Il teorema del dini ha valenza locale, non serviva proprio a niente in questo esercizio, dove chiedeva di lavorare sull'insieme definito da $f(x,y)=0$... ho bocciato il primo scritto proprio a causa di questo... comunque sì al secondo anno si fa l'integrale di Lebesgue, perché sei stupito?

[nato_pigro1]

si, non credevo che si facesse a fisica, non ne capisco il motivo (che di sicuro ci sarà).

Comunque mi è venuta una idea: per dire che non esiste una funzione implicita della $x$ (siamo in due dimensioni) in un intorno di -mettiamo- $(0,0)$ si può fare vedere che la $f$ si annulla per le restrizioni a due rette passanti per l'origine, oppure che per ogni intorno dell'origine esiste una restizione a retta verticale "passante per quell'intorno" che continene almeno due zeri. L'ho spiegata alla buona ma l'idea credo che si sia capita.