Se la serie an diverge, determina il carattere delle seguenti serie
Mie idee:
CON IL SIMBOLO DI SOMMATORIA INTENDERO' SERIE
∑ an diverge, ciò vuol dire che an o diverge, o converge a l ∈ ℝ, o è un infinitesimo di grado ≤ a 1/n oppure non ha limite
PRIMA SERIE:
Se la successione dei termini an diverge o tende ad l allora è chiaro che il lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non va a 0, dunque la serie diverge essendo a termini positivi. Se an->0 allora a(n)/(1+a(n)) ~ a(n)/1 e quindi per il criterio del confronto asintotico ∑ a(n)/(1+a(n)) diverge. Se la serie non ha limite lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non può convergere a 0 poichè 1 + a(n) rimane una successione con almeno 2 punti di accumulazione differenti. Dunque la serie non può che divergere in ogni caso
SECONDA SERIE: ovviamente n*a(n) non può mai dare luogo ad un infinitesimo. Se a(n)->0, lim a(n)/(1 + a(n)*n) è al massimo asintoticamente equivalente a a(n)/2, dunque la serie diverge. Nel caso in cui a(n) -> +oo o ad l, a(n)/(1 + a(n)*n) ~ 1/n, dunque per il criterio del confronto asintotico la serie diverge. Se a(n) non ha limite allora n*a(n) da luogo in ogni caso ad un infinito e lim n->∞ a(n)/(1+n*a(n)) può tendere a 0. In questo caso la serie può convergere. Esempio a(n) = 1 se n è un quadrato, a(n) = 1/n² se n non è un quadrato ==>∑a(n) = +∞, ∑a(n)/(1 + na(n)) < +∞
TERZA SERIE: Per confronto con la prima diverge
Ditemi se c'è qualcosa che non va o avete idee migliori
Risposte
PRIMA SERIE:
Se la successione dei termini an diverge o tende ad l allora è chiaro che il lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non va a 0, dunque la serie diverge essendo a termini positivi. Se an->0 allora a(n)/(1+a(n)) ~ a(n)/1 e quindi per il criterio del confronto asintotico ∑ a(n)/(1+a(n)) diverge. Se la serie non ha limite lim n->∞ a(n)/(1+a(n)) non può convergere a 0 poichè 1 + a(n) rimane una successione con almeno 2 punti di accumulazione differenti. Dunque la serie non può che divergere in ogni caso
Il criterio del confronto asintotico lo troviamo qui ad esempio
https://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/733-criterio-del-confronto-asintotico-e-dell-ordine-di-infinitesimo.html
Poniamo per evitare confusioni:
$b_n = k_n$
$a_n = k_n/(1 + k_n)$
$lim_{n -> oo} a_n / b_n = lim_{n -> oo} 1/(1+ k_n) $
Se $k_n = n$, la serie diverge, ma il limite del criterio e' 0, e quindi il criterio del confronto asintotico non porta a nessuna conclusione.
Nessuno dei casi della pagina che ho linkato e' soddisfatto.
Quello che voglio dire e' che siccome sappiamo solo che la serie degli $a_n$ diverge bisogna generalizzare il piu' possibile i casi da considerare.
Umm capito. Un'idea per migliorare la mia dimostrazione quindi? Inoltre non sono sicuro della mia dimostrazione nei casi in cui a(n) è indeterminata, cosa ne pensate?
Niente di speciale.
I ragionamenti li fai, pero' sembra tutto un po' frettoloso e poco rigoroso, della serie "ho intuito che la serie diverge ci ricamo sopra una dimostrazione piu' o meno valida".
No, e' il contrario, va bene l'intuizione, ma poi lo dimostro rigorosamente per vedere se la mia intuizione e' vera.
Per il primo esempio, separerei i casi con
1.
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \]
allora
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1 + a_n} = 1 \]
\[ \sum \frac{a_n}{1 + a_n} = +\infty \]
2.
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = l \in \mathbb R \]
allora usando il criterio del confronto asintotico
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1 + a_n}\frac{1}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + a_n} \in (0, \infty) \]
per cui si ricade nel caso 1) spiegato qui:
https://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/733-criterio-del-confronto-asintotico-e-dell-ordine-di-infinitesimo.html
\[ \sum \frac{a_n}{1 + a_n} = +\infty \]
I ragionamenti li fai, pero' sembra tutto un po' frettoloso e poco rigoroso, della serie "ho intuito che la serie diverge ci ricamo sopra una dimostrazione piu' o meno valida".
No, e' il contrario, va bene l'intuizione, ma poi lo dimostro rigorosamente per vedere se la mia intuizione e' vera.
Per il primo esempio, separerei i casi con
1.
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \]
allora
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1 + a_n} = 1 \]
\[ \sum \frac{a_n}{1 + a_n} = +\infty \]
2.
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = l \in \mathbb R \]
allora usando il criterio del confronto asintotico
\[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1 + a_n}\frac{1}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + a_n} \in (0, \infty) \]
per cui si ricade nel caso 1) spiegato qui:
https://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/serie-numeriche/733-criterio-del-confronto-asintotico-e-dell-ordine-di-infinitesimo.html
\[ \sum \frac{a_n}{1 + a_n} = +\infty \]
Ho capito, grazie dell'aiuto.
Che ne pensi invece di quando a(n) non ha limite? ho ragionato bene?
Che ne pensi invece di quando a(n) non ha limite? ho ragionato bene?
Come hai già notato, in generale non si hanno informazioni sull'esistenza del limite di \((a_n)\).
1. L'intuizione ti dice che la serie di termine generale \(b_n := a_n / (1+a_n)\) è divergente.
Supponi per assurdo che sia convergente. Allora \(b_n \to 0\) (condizione necessaria di convergenza), quindi anche \(a_n \to 0\) (basta osservare che, se \(b_n \neq 1\), allora \(a_n = b_n / (1-b_n)\)).
Definitivamente si ha quindi \(0\leq a_n \leq 1\), da cui segue
\[
b_n \geq \frac{a_n}{2} \qquad \text{definitivamente}.
\]
Di conseguenza anche \(\sum b_n\) è divergente, per il criterio del confronto per serie a termini non negativi.
2. Qui il ragionamento intuitivo porterebbe a concludere che la serie di termine generale \(c_n = a_n / (1 + n a_n)\) è convergente.
Infatti, se \(n a_n \to 0\), allora \(c_n \sim a_n\); se \(n a_n \to +\infty\), allora \(c_n \sim 1/n\); se \(n a_n \to c > 0\), allora \(b_n \to a_n /(1+c)\). In ciascuno di questi casi si avrebbe \(\sum c_n\) divergente.
Tuttavia, se scegli
\[
a_n =
\begin{cases}
1, & \text{se}\ n = 2^k,\\
0, & \text{altrimenti},
\end{cases}
\]
si ha che \(\sum c_n = \sum_k \frac{1}{1+2^k}\) è convergente.
3. Hai già risposto tu.
1. L'intuizione ti dice che la serie di termine generale \(b_n := a_n / (1+a_n)\) è divergente.
Supponi per assurdo che sia convergente. Allora \(b_n \to 0\) (condizione necessaria di convergenza), quindi anche \(a_n \to 0\) (basta osservare che, se \(b_n \neq 1\), allora \(a_n = b_n / (1-b_n)\)).
Definitivamente si ha quindi \(0\leq a_n \leq 1\), da cui segue
\[
b_n \geq \frac{a_n}{2} \qquad \text{definitivamente}.
\]
Di conseguenza anche \(\sum b_n\) è divergente, per il criterio del confronto per serie a termini non negativi.
2. Qui il ragionamento intuitivo porterebbe a concludere che la serie di termine generale \(c_n = a_n / (1 + n a_n)\) è convergente.
Infatti, se \(n a_n \to 0\), allora \(c_n \sim a_n\); se \(n a_n \to +\infty\), allora \(c_n \sim 1/n\); se \(n a_n \to c > 0\), allora \(b_n \to a_n /(1+c)\). In ciascuno di questi casi si avrebbe \(\sum c_n\) divergente.
Tuttavia, se scegli
\[
a_n =
\begin{cases}
1, & \text{se}\ n = 2^k,\\
0, & \text{altrimenti},
\end{cases}
\]
si ha che \(\sum c_n = \sum_k \frac{1}{1+2^k}\) è convergente.
3. Hai già risposto tu.
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